基于改进SEIR模型的COVID-19疫情度量分析

马力文，周 颖，张亚琪

(1. 南京邮电大学自动化人工智能学院，江苏 南京210023；
2. 南京邮电大学江苏先进材料协作研究中心，江苏 南京 210023)

随着疫情席卷全球，**COVID-19疫情的发展趋势和传播模式迫在眉睫：比如病毒的潜伏期多长，潜伏期是否具有传染性，传染强度有多大？根据目前的报道可知病毒的传染源是携带COVID-19病毒的患者(包括潜伏期患者)，主要的传播途径是飞沫传播，人群普遍易感[1-3]。

SEIR模型是基于复杂网络的经典传染病模型。主要的复杂网络传染病模型包括SI模型，SIR模型和SEIR模型。SI模型将人群分为易感人群和感染人群。易感人群在单位时间内以一定的传染概率受到感染转化为感染人群。该模型并没有考虑感染者被治愈或死亡的情况，与现实生活中的实际情况不相符。SIR模型增加了移出状态(R)，表征感染者治愈或死亡的状态变化，感染人群在单位时间内以一定的治愈或死亡概率由感染状态转移到移出状态。该模型已经可以表征很多传染病的发展过程，但根据报道可知，潜伏期的COVID-19病毒患者同样具有传染性。由此提出具有潜伏状态(E)的SEIR模型，潜伏期的患者在单位时间内以概率γ转移至感染状态[4-9]。基于SEIR模型的现有研究表明，对携带COVID-19病毒的患者进行有效隔离并及时进行病原追踪可以有效遏制疫情大范围扩散[10]。

COVID-19病毒的潜伏期在3-14天之间，传染强度不如SARS病毒，但传染范围远超SARS病毒[11-13]。文献 [14]对国内疫情的省间传播做了具体分析，文献[15]建立了国内新冠肺炎传播的智能体模型，文献[16]采用周期性SEIR模型对传染动力学进行建模。已有文献主要是对国内新冠肺炎疫情的研究，且仅使用的SEIR模型仿真了四类人群的演变历程，缺少对病毒潜伏期和传染强度的仿真。当前新冠肺炎疫情的高风险地区已经从国内转移到国外，各国疫情、民情、国情特征各不相同，COVID-19病毒的具体表征也各不相同[17]，只分析国内的疫情信息，是远远不够的。潜伏期长度和传染强度是表征传染病的重要指标，会随着疫情发展而发生变化，想要高效防疫就必须掌握这两个参数的变化。

本文选择了中国(武汉)，澳大利亚，印度，法国，韩国，美国几个国家从2019年12月开始到2020年7月间的相关数据，分别进行了疫情特征描述和防疫效果度量。特征描述分为两个部分：使用加入弹性变量的中位数模型求解平均潜伏期；
基于SEIR模型状态间的转化关系求得病毒的基本传染数。使用相应的回溯参数演绎各国防疫效果，具体分为三个参数判定指标：控制传染源，切断传播途径，保护易感人群。仿真结果认为中国、韩国、意大利、法国的防疫成果较好；
澳大利亚的防疫成果一般；
美国、印度的防疫成果较差。

2.1 基于中位数模型的潜伏期计算

潜伏期的人(包括无症状感染者)具有传染性且潜伏期是随机的[18]。通过对感染者的跟踪和回溯得到COVID-19的潜伏期长度，有较大的不确定性。建立估计潜伏期的模型并合理估计平均潜伏时间，有利于政策制定者更合理地安排防疫举措。

2.1.1 模型假设

1)病毒的源头为共同来源

2)统计的疫情期只有一个高峰

3)病例集中在最长和最短潜伏期之间。

2.1.2 模型的建立

传染病潜伏期长度计算的方法有两种：几何均数法和中位数法。从官方新闻中得知，此次疫情的潜伏期以天为单位，是离散型计数数据，且潜伏期少有成指数模式增长的情况发生[2]。因此，本文采用中位数法。

由于病毒的传播尚未结束，因而从世界卫生组织(WHO)网站以三天为一个步长，收集意大利、法国、澳大利亚、韩国、印度和中国从2020年1月24日到2020年7月13日的总确诊人数和单日新增确诊人数的数据。选取总确诊数的16%，50%，84%作为中位数法选取数据的标志比例，将得到的首部，中部，尾部的总确诊人数代入到模型中，估算出该国家的病毒潜伏期。

由于影响病例增长的因素错综复杂，因而在中位数模型中引入弹性变量，使得模型的适应性更强。平均潜伏期估算公式如下

(1)

由于各国对疫情的统计信息准确性不同，直接带入中位数公式难以得到合适的估算值，因此引入弹性变量。弹性变量j为标志比例个数。

2.1.3 各国潜伏期估算结果

统计筛选WHO官网上公布的各国疫情数据，带入式(1)中计算得到的潜伏期估算结果如下表所示。

表1 澳大利亚潜伏期估算结果

表2 意大利潜伏期估算结果

表3 法国潜伏期估算结果

表4 印度潜伏期估算结果

表5 韩国潜伏期估算结果

表6 中国潜伏期估算结果

由上表可知，各国的平均潜伏期分布在3.93-7.43天之间，总平均潜伏期为5.489天。本轮绝大多数COVID-19疫情患者感染病毒到发病只需经历2-3天[19]，而潜伏期长度的计算结果受各国确诊病例统计数据的影响，所以潜伏期平均时间相对较短的国家发现潜伏病患的能力更强。由上述表格可以看出，中国在病例最多的情况下，病毒潜伏期估算值最小，说明中国的病毒检测能力最强。法国，韩国和澳大利亚医疗基础较强，潜伏期的估算值大小处于中间位置，病毒检测能力较强。意大利和印度在疫情期间，确诊病例增速先慢再突然爆发，且潜伏期的估算值较大，说明疫情初期，两国的病毒检测能力没有跟上，大量得不到确诊的病例引起了感染人数爆炸式的增长。

2.2 基于SEIR模型的病毒传染强度仿真

从官方信息可知，携带COVID-19的潜伏者同样具有感染健康人群的能力，因此，选用SEIR模型对人群结构进行建模。将总样本分为易感者，潜伏者，感染者，移出者四部分。病毒的感染强度，政府的管控力度和民众自我防范意识等因素都会影响四类人群的转化率。本文通过计算各国不同时期四类人群转化率的大小来仿真病毒传染强度随时间变化的规律，并使用基本传染数R0作为衡量传染强度大小的指标。

其中S为易感状态的人群，为统计地区可能接触到传染源的全部人口；
E为处于潜伏期的人群，表示已经被感染但没有表现出感染症状的群体，具有传染能力；
I为感染人群，具有传染能力；
R为移出状态人群，包括治愈，死亡，有效隔离的人，不具有病毒传染能力且移出后不会再次被感染。四种类型人群的转化方向如图1所示。

记S(t)，E(t)，I(t)，R(t)分别为t时刻的易感人群数，潜伏人群数，感染人群数，移出人群数[9]。N(t)为t时刻群体总人数，有

图1 SEIR模型状态转化

S(t)+E(t)+I(t)+R(t)≡N(t)

(2)

假设S为易感人群总数，N为总人口数，易感人群在一定时间内被传染的概率为β，比例为S/N，此时共有I(t)感染个体，易感人群的变化如下所示[20]。

(3)

假设感染者在一定时间内可以接触k个人，接触者被感染的概率为b，有

β=kb

(4)

相应地，潜伏个体的数目按照如下变化率增加，并且整体以单位时间概率γ1转化为感染个体[20-21]。

(5)

潜伏期人群确诊转化为感染人群，同时感染人群治愈或死亡，以概率γ2转化为移出人群[21]

(6)

相应的，感染群体以概率γ2由向移出群体转化

(7)

综上可得

(8)

基本传染数R0为

(9)

其中，C为恢复期，C=14。

由于中国人口总数庞大，湖北地区与湖北以外地区疫情差距极大，为减少结果偏差，中国地区以武汉为研究对象。本次疫情的传染周期一般为7天[22]，故本文中将7天作为一组求b、R0的值，按照疫情爆发前期(1月25日至1月30日)、中期(2月25日至3月3日)、后期(3月8日至3月14日)选取武汉市卫生健康委员会公示的数据。2019年12月8日的确诊病例为1人，为第0天，武汉人口为1300万，确诊病例的死亡率为3%，COVID-19的恢复期C为14天，总确诊人数函数为I(t)，有

I(0)=1

(10)

在疫情早期，由于防控意识淡薄，本题中假定感染者每天平均接触人数k=5，系统中的全部人口都处于易感状态。统计筛选武汉市卫生健康委公示的疫情数据，得到武汉市各疫情期总确诊人数如下表所示。

表7 武汉市疫情前期的总确诊人数

表8 武汉市疫情中期的总确诊人数

表9 武汉市疫情晚期的总确诊人数

表10 武汉传染强度参数

经过计算得到表10中的数据，可以看出武汉地区病毒的传染概率和传染强度随时间推移逐渐减弱。使用高斯烟羽模型[23]对病毒传染能力进行可视化仿真

(11)

其中，C为空间点(x，y，z)的病毒传染强度；
σy和σz分别表示横向和纵向上病毒传染能力的扩散参数；
μ为携带传染源的患者平均移动距离；
q为传染源强度，x，y，z为空间中某点到点源的距离。得到可视化结果如下图所示。

图2 二维病毒传染能力仿真

高斯烟羽模型中得到的仿真图中，曲线上的数值为可传染人数。可以看出距离传染源30米的范围内病原体的传染能力很强，随着社交距离的增加，病毒的传染能力逐渐减弱。将病毒携带者和易感者有效隔离，可以大大削弱病毒的感染能力。

图3 三维病毒传染能力仿真

使用SEIR模型继续求出各国病毒传染强度变化：

表11 韩国传染强度参数

表12 美国传染强度参数

表13 意大利传染强度参数

表14 法国传染强度参数

表15 澳大利亚传染强度参数

表16 印度传染强度参数

表17 不同时期各国家病毒传染强度

基本传染数R0值越小说明疫情控制得越好，当R0递减甚至小于1后，病毒的传播就会逐渐消失。如图4所示，各国R0的大小都在逐渐变小。说明从疫情爆发至今，各国政府的管控力度不断增大，人民的防范意识不断增强，病毒的传染强度在人为控制下逐渐减弱了。

图4 各国病毒传染强度随时间变化

中国在疫情初期，就对武汉封城，并在全国停工停产[19]，很好地阻断了病毒的传播，所以中国的R0在各国中处于一个很低的水平。意大利早期的R0很大，但在政府决定封城后，中期的R0迅速变小，疫情发展逐渐向好。澳大利亚的R0一直处于很低的水平得益于广大的领土和极少的人口，感染者可接触的平均人数很低。而美国，在早期疫情爆发后，仍没有有效的防疫举措，可以看到虽然传染强度在减弱，但防疫形式依然严峻。

以中国武汉为例，确定行之有效的防疫举措。图5中武汉已经封城，但前七天未对城内居民的行动进行过多限制。此时N=1100万，C=14，K=5，R0=3.108。

由仿真结果可知，感染人群的曲线在第66天左右开始递增，表明中国武汉的疫情在2 月6 日左右开始集中爆发，感染人群的曲线在第108天达到极大值，此时疫情的传播到达高峰(3月末，四月初)，潜伏期人群数在第150 天降为0，表明疫情的传播接近尾声(5月上旬)。

图5 未采取措施的四类人群变化趋势

图6中，政府采取了一定的管控手段和人们自发的避免感染，会减小病毒的基本传染数。此时N=1100万，C=14，K=5，R0=2.6166。

疫情在第60天左右开始集中爆发(1月末)，第95天左右达到高峰(3月中旬)，第140天后接近尾声(4月下旬)。这也说明早期武汉政府披露的感染人数可能比实际少得多，这使得初期的基本传染数较大。引起这些问题的原因有：检测跟不上，医疗设备缺乏，无法满足检测和治疗的需求。

图6 采取一定管控的手段后四类人群变化趋势

图7中，政府对武汉的交通进行了限制，并关闭了各种不必要的公共场所。此时保持传染基本数不变，感染者每天平均接触到的人数k减少。此时N=1100万，C=14，K=1，R0=3.108。

疫情在第50天左右开始集中爆发(1 月25 日左右)，第84天左右达到高峰(3月上旬)，第120天后接近尾声(4月中旬)。该结果表明，管控措施对疫情防治作用很明显。

图7 交通管制后四类人群变化趋势

随着时间推移，人们的防范意识和政府管控加强，基本传染系数R0会减少。此时N=1100万，C=14，K=1，R0=2.6166。

图8 政府强化管制后四类人群变化趋势

疫情在第48天左右开始集中爆发(1 月23 日左右)，在第75天左右达到高峰(2月末)，在第125天后接近尾声(4月上旬)。与武汉实际情况比较相符，说明政府当前的管控力度非常强。

前面的分析验证了中国疫情防控取得了很大成效；
具体举措何以分为三个方面：控制感染源，切断传播途径，保护易感人群。

从控制感染源的角度来讲，中国很早成功检测并向世界公布了新冠病毒的基因序列，并大批量生产检验试纸。在疫情重点区域进行了大规模核酸检测，提出了“应收尽收，不漏一人”的口号[23]。中国强大的科研能力和政府执行力使国家很快就控制住了传染源。

从切断传播途径的角度来看，在疫情初期，党中央就迅速下令，对武汉进行封城，全国范围内停运市内交通，并关闭人员密集型服务场所[23]。全国人民自发的在家中隔离，减少外出活动。这些措施都极大地阻断了病毒从武汉向全国范围内扩散，也极大地降低了潜伏者感染健康者的可能性。

从保护易感人群的角度来说，中国的方舱医院对感染者进行了有效隔离，阻断了二次感染[20]，极大地降低了感染总人数，使疫情快速到达拐点，加快了疫情结束的脚步。

疫情数据非常繁杂，难以清晰明了地分析数据之间的关系和度量各国防疫效果。本节根据控制传染源，切断传播途径，保护易感人群三个指标，使用相应的回溯参数对各国疫情趋势进行演绎，并将演绎结果与实际进行比较得出直观的度量结论。

假设确诊总人数为M，包括潜伏期人数和感染期人数，其中潜伏期人数为m，潜伏人群占总确诊人数的比例为

(12)

其中，P由平均潜伏期内感染比例求得：

(13)

其中n为潜伏期仍具备感染能力(即未被有效隔离)的人数，N为总人数，T为从感染到确诊的时间和。

由上面两式可以回溯求得感染人数的变化过程。接下来将使用回溯参数结合控制传染源，切断传播途径，保护易感人群三个手段来演绎各国理想的防疫趋势，并和实际趋势进行比较来评价各国的防疫成果。使用表18中的数据进行回溯传播建模。

表18 各国回溯参数数据

中国防疫工作的效果显著，但图9理想回溯的图像和实际图像并未完全重合。这是因为在疫情初期，人们对病毒的意识不足，政府的检测能力较弱，并且存在大量的潜伏期病人仍在自由活动，因而在这一时期实际的感染人数应多于确诊人数。这使得总确诊人数略高于理想模型，疫情高峰、结束期的到来也相应延后。

控制感染源：美国每天可以确诊数万的感染病例，说明其具有强大的检验能力。切断感染源：未停工停产，民众不戴口罩且可以参加聚集性活动。保护易感人群：未建立方舱医院，无法有效隔离易感人群。

图9 中国(武汉)回溯仿真

从图10中可以看出，易感人群的下降曲线推后了大概25天，这说明美国政府并没有有效地切断传染源，实际的感染人数仍呈井喷式爆发，远超每日新增的确诊人数。直接导致疫情高峰相较于预测模型向后推迟了30天，结束日期则推迟了近50天。实际移出群体数量也大量减少，说明由于防疫失利，治愈率下降，死亡率升高，且大量民众再确诊前就已经死亡。如果美国仍不采取有效的防控措施，直至2020年年末，美国都不会迎来疫情拐点。

控制感染源：韩国政府的病毒检测能力很强。切断传染源：未停工停产，但民众普遍带口罩。保护易感人群：因为较好的医疗基础，韩国医院对已经确诊的人进行了较为有效的隔离。

图10 美国回溯仿真

从图11可以看出，韩国疫情的高峰期出现在3月15日前后，比预测大概推迟了15天左右，5月初疫情趋于稳定，实际趋势与预测相差不大。这说明韩国政府的防控工作做的较好，民众普遍带口罩也极大地减弱了病毒的传染，但未停工停产还是造成了部分地区性传染事件的发生。韩国接下来需要重点防控小范围区域传染。

图11 韩国回溯仿真

控制感染源：印度人口众多，数量庞大的贫困人口得不到及时的检测。切断传染源：占人口绝大多数的贫困地区是医疗和防控的真空区，且人口密度极大，印度政府无法真正地切断传染源。保护易感人群：印度基础设施和医疗储备很差，完全做不到有效隔离。

从图12中可以看出，印度国内疫情爆发明显滞后于其他国家，这说明印度政府的检测速度远远落后于病毒的传染速度，印度政府根本没有办法控制疫情的发展。占比超过90%的贫困人口预示印度的防疫措施将形同虚设，在接下来的时间，印度将一直处于疫情高峰期，直至政府发放免费的疫苗。

控制感染源：意大利政府在接受了中国政府的大量援助后，获得了大量的检验试纸，检验能力较强。切断感染源：停工停产，禁止了民众的非必须外出活动，要求全民戴口罩。保护易感人群：学习了中国的方舱医院，有效的阻断了病毒的二次传染。

图12 印度回溯仿真

从图13可以看出，易感人群的下降比预期滞后了一个月，意大利在一月出现输入病例后，并没有采取有效措施，例如马拉松之类的大型活动就是病毒大范围传播的温床，直至进入3月疫情爆发才开始提倡居家隔离。移出率比预测低了很多，这说明意大利出现了医疗击穿的情况，死亡率高达6.6%，且意大利老龄化严重，超过80岁的人群死亡率超过14.4%[24]。意大利在得到中国的援助后，迅速封城，并建立了方舱医院，有效的遏制了疫情的进一步恶化，在疫情开始后的110天(大概四月中旬)迎来了疫情的拐点。整体防疫趋势向好。

控制感染源：作为老牌资本主义强国，法国政府的病毒检验能力很好。切断传染源：未停工停产，但鼓励民众戴口罩。保护易感人群：对感染的人群进行了有效隔离。

图13 意大利回溯仿真

从图14可以看出，疫情早期，法国仍然对申根国家开放边境，输入了大量流动的病毒携带者，疫情快速增长期出现在意大利宣布封国后的一周。但法国国力和医疗基础实力雄厚，并没有出现类似于意大利的死亡率整体的防疫效果不错。在疫情发生的第100天左右(四月上旬)，比意大利更早的迎来了疫情拐点。

控制感染源：澳大利亚政府病毒检测能力较好。切断感染源：未停工停产，民众戴口罩的意识一般，但地广人稀，有自身得天独厚的优势。保护易感人群：对感染的人群进行了有效隔离。

图14 法国回溯仿真

从图15可以看出，易感人群的下降时间，疫情拐点的到来，疫情结束时间都明显滞后于预测模型，澳大利亚政府的疫情防控工作做得很一般，但是得益于自身较好的基础医疗积累和地广人稀的天然优势，新冠肺炎并没有爆炸式传播。澳大利亚的移出人群比预期低，是治愈率较低。如果该国政府不提高防疫效率，来自美国的输入病例就会引爆澳大利亚疫情爆发的火药桶。

综上所述，控制传染源，切断传播途径，保护易感人群是控制疫情的有效手段。检测能力受国力影响很大，老牌强国的检测能力都不错，而印度受制于庞大的贫困人口，心有余而力不足。由于经济原因，绝大多数国家无法像中国，意大利一样，大面积停工停产，但减少不必要聚集活动和戴口罩是切断传播途径的有效方法。保护易感人群可以极大地减缓感染人数的增加，在医院隔离资源饱和的情况下，方舱医院是有效隔离的最佳选择。疫情防控不仅仅是政府工作，民众配合也十分重要[25]，中国民众自发居家隔离，美国民众不戴口罩且外出聚集，这都极大的影响了疫情发展。各国的实际情况同样说明越及时采取符合国情的有效措施，防控效果越好。

图15 澳大利亚回溯仿真

本文分析了病毒传染能力的两个指标：平均潜伏期和基本传染数。各国平均潜伏期长度为5.489天，基本传染数在3.93-7.43之间。使用改进SEIR模型确定了度量防疫效果的三个方向：控制传染源，切断传播途径，保护易感人群。使用相应的回溯参数对理想防疫趋势进行演绎，通过和实际趋势的比较对各国防疫效果进行客观评价。本文认为在第一波疫情高峰中中国、韩国、意大利、法国的防疫成果较好；
澳大利亚的防疫成果一般；
美国、印度的防疫成果较差。

猜你喜欢传染源传染防疫“豪华防疫包”环球时报(2022-05-20)2022-05-20春节防疫 不得松懈防爆电机(2022年1期)2022-02-16Our Mood Can Affect Others初中生学习指导·中考版(2021年2期)2021-09-10新型冠状病毒肺炎流行病学特点上海交通大学学报（医学版）(2020年3期)2020-12-23防疫、复工当“三员”人大建设(2020年4期)2020-09-21端午节俗与夏日防疫基层中医药(2020年6期)2020-09-11听说，笑容是会“传染”的意林绘阅读(2019年12期)2019-12-30传染故事作文·低年级(2017年7期)2017-07-20一类具有非线性传染率的SVEIR模型的定性分析西安工程大学学报(2016年6期)2017-01-15肺结核疾病慢性传染源的特点和预防治疗对策中西医结合心血管病电子杂志(2014年6期)2015-03-31

推荐访问:疫情 度量 模型