解决方案--组合问题解决方案【精选推荐】

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　AB组合问题的解决方案

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　 一、 对应思想解组合问题， 即所研究的问题对应着某些元素的组合． 解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应” 的确切含义．

　 例 1(1) 圆上有 10 个点, 两两连成弦, 这些弦在圆内最多可形成_____个交点.

　(2) 平面上有 4 条水平直线, 5 条竖直直线, 能形成矩形______个.

　（3）

　马路上有编号为 1， 2， 3， …， 10 的十盏路灯， 为节约用电又不影响照明， 可以 把其中 3 盏灯关掉， 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏， 在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？

　（4）

　如图是由 12 个小正方形组成的沿网格线从点 A 到点 B 的不同路径之中

　条 解析：

　(1) 每一个交点对应着两条相交弦， 而两条相交弦又对应着圆43×矩形网格， 一质点 上 4 点， 故交点数等于从圆上的 10 个点中取 4 点的方法数， 为410C 个.

　(2)

　每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线， 所以形成的矩形数等于2524CC ⋅个.（3）

　把问题想象成在可以移动的 10 盏灯中关掉 3 盏灯后剩下 7 盏灯， 在 7 盏灯产生的 6个空位中选出 3 个位置安排移走的 3 盏灯（为熄灭的灯）

　所对应的方法数， 为36C 种；

　（4）

　相邻两点算作一步， 则从点 A 到点 B 的最短路径对应着 7 步， 其中横向安排 4 步、 纵向安排 3 步， 所以最短路径对应着 7 步中安排 4 步横向走的方法数, 有4735C =．

　附：

　1、（2004 湖北文科）

　将标号为 1， 2， …， 10 的 10 个球放入标号为 1， 2， …， 10 的10 个盒子里， 每个盒内放一个球， 恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（

　 ）

　 A． 120 B． 240 C． 360 D． 720 解析：

　每一种符合要求的方法对应着 10 个位置选定 7 个对号安排和余下 3 个位置的完全不对号安排， 10 个位置选定 7 个的方法数为710C 种， 3 个位置的完全不对号安排有 2 种， 故总数为7102240C ×=种． 故选（ B

　）．

　2、（2001 全国， 16）

　圆周上有 2n 个等分点（n＞1）， 以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

　. 解析：

　每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的 2n-2 个点中选择1 点， 方法数为()()1n2221Cnn n×−=−种．

　二、 至多至少组合问题: 即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题. 可分类或用间接法, 体会两者是可以相互转化的． 此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．

　 例 2、 某班有 54 位同学， 正、 副班长和学习委员各 1 名， 现选派 6 名同学参加某课外小组， 在下列各种情况中， 各有多少种不同的选法？

　（1）

　正、 副班长和学习委员至少有一人入选 （2）

　正、 副班长和学习委员至多有一人入选 解析：

　（1）

　正、 副班长和学习委员至少一人入选可分为只有一人入选、 有两人入选和三人都入选三类， 方法数为135512345133351C CCCCC⋅+⋅+⋅，本题也可用间接法：

　没有任何限制的选法为654C ， 而不符合要求即正、 副班长和学习委员都不入选的方法数为651C ， 所以满足题目要求的选法数为654651CC−； 对本题的进一步理解：

　从 54 人中选出题目要求的选法可画图理解为如图的分类， 由此可见本题既可用直接分类法也可用间接排除法解决， 这对至多至少组合问题具有一般性．

　（2）

　由以上分类易知正、 副班长和学习委员至多有一人入选包含两类:3 人均不入选和 3人中恰有 1 人入选， 则满足要求的方法数为65113551CC C+.

　 附：

　1 、 (2005 全国卷Ⅰ ) 从 6 名男生和 4 名女生中， 选出 3 名代表， 要求至少包含 1 名女生，则不同的选法有

　种．

　解：

　此题是典型的“至多至少组合问题”， 可分类 （以选出 3 人中包含女生的人数分为 3 类），共有1426241634100C CCCC⋅+⋅+=种， 或用间接法为33610100CC−=种．

　2、（2005 浙江卷）

　从集合{ P， Q， R， S}与{0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9}中各任选 2 个元素排成一排(字母和数字均不能重复)． 每排中字母 Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是_________． (用数字作答)．

　解：

　此题为“至多至少组合问题”， 计算出满足要求的 2 字母和 2 数字的组合的总数（采用间接法）

　为242131910CCCC×−×种， 故不同排法种数是24213194410()5832CCCCA×−××=种．

　 三、 分组搭配组合问题: 即对某些元素按一定要求分组或按一定要求分配的问题. 要掌握平均分组和不平均分组的处理方法； 注意对平均分组又分配和不平均分组又分配的两种处理方法—--“先分（分组）

　后给（分配）” 和“边分（分组）

　边给（分配）” 的把握．

　 例 3、

　 6 本不同的书， 按下列要求各有多少种不同的选法或分法：

　(1) 分为三份， 一份一本， 一份两本， 一份三本；

　(2) 分为三份， 每份两本；

　(3) 分给甲、 乙、 丙三人， 一人一本， 一人两本， 一人三本；

　(4) 分给甲、 乙、 丙三人， 每人两本；

　⑸分给甲、 乙、 丙三人， 每人至少一本．

　解析：

　(1) 此为不平均分组的题目， 只须按三个步骤分别选出 1 本的一份、 2 本的一份和 3本的一份即可， 方法总数为332516CCC⋅⋅种；

　(2)

　此为平均分组的题目， 只须先假定三个位置 A、 B、 C， 每个位置安排 2 本书， 按三个步骤分别选出 2 本安排在 A、 B 和 C， 共有222426CCC⋅⋅种方法， 而此题为平均分组， 上述算法已对每一分组在 A、 B、 C 三个位置进行了排列， 故满足要求的平均分组为33222426ACCC⋅⋅种；(3)

　此为不平均分组又分配的题目 ， 可采用先分组后分配的方法， 即第一步分组共有332516CCC⋅⋅种方法， 第二步每一种分法得到的 3 组分给甲、 乙、 丙三人的方法都是33A 种，故采用先分组后分配的方法得分配方法共33332516ACCC⋅⋅⋅种； 本题也可采用“边分边给”的方法解决， 即先选出 1 本书并将这本书分配给 1 人的方法数为1613C C⋅种， 再选出 2 本书并将这 2 本书分配给 1 人的方法数为2512CC⋅种， 第三步选出 3 本书并将这 3 本书分配给 1人的方法数为3311C C⋅种， 故采用 “边分边给”的方法得方法总数为161325123311C C C⋅C CC⋅⋅⋅⋅种；(4) 此为平均分组又分配的问 题， 可采用 “ 先分（ 分组）

　后给（ 分配）” 得方法数为2624332233CCCAA⋅⋅⋅种； 若采用“边分（分组）

　边给（分配）” 的方法理解本题可分三步完成：甲分得 2 本书、 乙分得 2 本书、 丙分得 2 本书， 方法数为262422CCC⋅⋅种；

　⑸先分类再结合上述解法得方法数为3346AC ⋅+332516ACC⋅⋅+2426 CC ⋅种．

　例 4、 3 名司机和 6 名售票员分别分配到 3 辆不同的公交车上, 每辆车上 1 名司机 2 名售票员, 分配方法共多少种? 解析：

　将问题分两步：

　对 3 名司机和 6 名售票员分为 3 组， 每组 1 名司机和 2 名售票员， 先 假定司机不动， 则分组方法为262422CCC⋅⋅种， 再对每一分法分得的 3 组在 3 个位置（3 辆不同的公交车）

　进行排列得分配方法共有26242233()CCCA⋅⋅⋅种； 若采用边分边给的方法则分3 步 完 成 ：

　第 一 、 二、 三 辆公 交 车分别 选 1 名 司 机 2 名 售 票员 , 分配 方法共() (⋅) (⋅)261324122211CCCCCC⋅⋅⋅种．

　附：

　1、 北京《财富》 全球论坛期间， 某高校有 14 名志愿者参加接待工作． 若每天排早、 中、晚三班， 每班 4 人， 每人每天最多值一班， 则开幕式当天不同的排班种数为(

　)

　（A）121444812C C C

　 （B）121444812C A A

　 （C）12144481233C C CA

　（D）12144483312C C C A

　解析：

　本题是典型的分组搭配问题（平均分组）， 注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）

　后给（分配）” 和“边分（分组）

　边给（分配）” 的把握． 在解答本题时请仔细体会“边分（分组）

　边给（分配）” 的运用． 答案为(A ). 2、 把一同排 6 张座位编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的电影票全部分给 4 个人，

　每人至少分 1 张， 至多分 2 张， 且这两张票具有连续的编号， 那么不同的分法种数是（ ）

　 A． 168 B． 96 C． 72 D． 144 解析：

　本题是典型的分组搭配问题（不平均分组）， 注意对该类问题的两种处理方法—-- “先分（分组）

　后给（分配）” 和“边分（分组）

　边给（分配）” 的把握． 本题把一同排 6 张座位编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的电影票分为 4 组的方法数为 6 种， 每一种分组的分配方法均为44 A ，故本题的方法数为446 A×种． 故选（D）． 请仔细体会“先分（分组）

　后给（分配）” 的运用．

　3、 四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、 ②、 ③、 ④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为

　(

　) （A）

　96

　（B）

　48

　（C）

　24

　（D）

　0 解析：

　本题是典型的分组搭配问题 （平均分组）， 本题适用“先分 （分组）

　后给（分配）” 法， 没有公共顶点的两条棱一组的分组有（PA，BC）、（PB， CD）、（PC， AD）、（PD， AB）

　或（PA， CD）、（PB，DA）、（PC， AB）、（PD， BC）

　共 2 大组， 而每大组的 4 小组在 4个位置的分配就是 4 个元素在 4 个位置的全排列， 所以安全存放的不同方法种数为 44248A×= 种． 故选( B)．

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