关于数学史的论文参考范文4篇【通用文档】

关于数学史的论文参考范文浅析清末民国对数教育情况6至17世纪，各学科知识高速发展，尤其是天文、航海及近代力学需要进行大量数学计算。为简化运算，提高运算速度，下面是小编为大家整理的关于数学史的论文参考范文4篇,供大家参考。

关于数学史的论文参考范文篇1

浅析清末民国对数教育情况

6 至 17 世纪，各学科知识高速发展，尤其是天文、航海及近代力学需要进行大量数学计算。为简化运算，提高运算速度，许多数学家花费了大量心血。 苏格兰数学家纳皮尔等人通过多年的研究，发明了“ 对数”. 这一发明影响深远，它不仅使“ 天文学家寿命倍增”[1]137( 拉普拉斯语) ,也使伽利略“ 利用时间、空间和对数，就可创造一个宇宙”[2]1,更不愧于恩格斯将其列为 17 世纪三大数学发现之一。

一、清末对数教育情况

清末从同治元年( 1862)京师同文馆设立起，至辛亥革命( 1911)推翻清政府止，数学教育近代化经历了近五十年的历程。 在此过程中，前期表现为数学课程普遍设置并进行了教学方法的改革，后期主要是学制的颁布与实施及教育行政机构的设立。 1867 年，京师同文馆增设天算馆。 由于没有颁布相应的教学大纲或课程标准，但根据《 同文馆题名录》所载课程( 1876)及同文馆活字本《 算学课艺》的内容可推断其课程包括代数学、平三角、弧三角等。 据《 同文馆算学课艺》( 1880)卷二中涉及对数题目 1 道。 第 46 题“ 瓜豆共生”,该题与《 九章算术》中的“ 蒲莞共生”,“ 两鼠对穿”同类，但解法却不是应用盈不足术求解，而改用指数与对数求解[4]46. 此足可说明对数已成为京师同文馆的教学内容。

清末，教会学校盛行。 由传教士组织的“ 学校教科书委员会”编译了大量数学教科书，其中《 笔算数学》、《 代数备旨》、《 形学备旨》、《 八线备旨》 、《 代形合参》 等书流传甚广，且编有细草，编者又不止一人。《 八线备旨》四卷，原着美国罗密士，美国传教士潘慎文选译，谢洪赉校录，1894 年出版， 美华书馆铅印本。 该书流传版本较多，以1898 年益智书会石印本为例，其凡例称：原本更有论对数与航海法各一卷都为六卷，但对数已经别译，而航海又嫌过略，不足以备学者观览，姑且从删；原本后对数、八线、弦切对数等以便检查[5]1. 此书共四卷，含平三角、量法、测地、弧三角形，是当时的三角学课本，多次重印，影响极大。

清代末期是中西数学的融合时期，数学的发展表现出两个方向：

一是西方变量数学的传入和研究；二是中国传统数学的继续研究。 这种情形在诸多算学课艺中有所反映， 其内容中不仅有中国传统数学的天元术、勾股术，也有西方传入的几何、平面三角、球面三角、指数、对数等。而对数部分内容教学分别散落于代数与三角教学中。即先从代数部分习得对数的相关概念及其运算法则，后由三角部分再习，主要是用于解三角形，以简化运算。 如《 平面三角法新教科书》所言，凡关于三角形问题之解决，而欲得其便捷之计算，莫若用对数[6]78.

三角学教科书方面，《 新撰平面三角法教科书》[7]33中第三编，对数之性质及用法。 介绍了对数定义，对数之性质，对数之指标之定义，对数之假数之定义，对数表之形，比例差，以对数算直角三形之法。《 平面三角法讲义》[8]86中第六编对数，第七编三角函数真数表及对数表。 虽采用了从左至右横排版，但其中的未知数 x,y,z 用甲、乙、丙代替，字母 A 用呷代替，字母 B 用口字旁加乙字代替，字母 C 用口字旁加丙字代替。 正弦等三角函数名称用正弦、余弦、正切等代替。 如 tanA 用正切呷代替。 全书用手写版，读起来似为天书。 依此看来， 数学符号的现代化进程也不是一蹴而就的， 其间也有反复。

《 三角法教科书》[9]1全书七编。第六编三角形之解法将正弦定理直接改为对数式，没有介绍对数的相关知识。 而在第七编之后专设“ 附录”重点介绍了对数、对数表用法，三角函数对数表用法，三角函数表用法。 附录之后是附表，给出了 1- 2000 之五位对数表，十分飞三角函数对数表，十分飞三角函数表。 代数教科书方面，《 中学校数学教科书---代数之部》该书上卷五编，下卷九篇共十四编。其中第十二编为对数。分两章，第一章为对数，第二章为复利算，年利算。书中原序提到：“ 要目列对数于最后然实有须使早学者故置于级数之后”.“ 学对数表之用法期间甚短若使学者另购对数表殊有未便乃附至 5000 之对数表于卷末而 5000 以上之对数表可依自 500 至 1000之对数表求得之故使学其用法足矣”[10]1.

总之，清末时期的对数教育，主要是先从代数中讲授，继之以三角中讲授。 代数主要讲授对数、常用对数的定义，如何求一个数的对数，对数的运算法则，对数表的用法，用比例法求一个数的对数。 三角教科书在引入对数时主要基于以下理由：一是“ 凡数过大，演算时甚为困难，若用对数，则较为便利，用对数可实现加法代乘法，减法代除法，乘法代自乘，除法代开方”[11]98. 二是“ 以对数解三角，大可省实算之劳，故须省对数之性质”[12]38.“ 解三角之问题，便于计算，莫对数若。 对数之法，学者于代数学虽已知之。 然为应用计，兹再述其大略”[13]78.

二、民国对数教育情况

1912 年，中华民国成立。 同年 9 月颁布《 中学校令》 规定中学校修业年限为四年。 12 月公布《 中学校令施行规则》，规定数学宜授以算术、代数、几何及三角法，女子中学校可减去三角法。 1913 年 3 月《 中学校课程标准》 中规定第一至三学年习代数，第四学年习《平面三角大要》。 1922 年颁布《 学校系统改革案》，规定中学校修业六年，分为初高两级，初级三年，高级三年。 1923 年《 新学制课程标准纲要》中规定，代数中习对数。三角中有边角互求，三角应用大意。《 高级中学第二组必修的三角课程纲要》中里面有对数与对数造表法，航海术等。《 高级中学第二组必修的高中代数课程纲要》中规定要学习对数、对数方程式、对数级数。 此后的 1929 年亦要求初中三年级代数课学习对数，三角中使用对数。 高中仍如 1923 年。 1932 年《 初级中学算学课程标准》中规定初中第三学年代数部分学习对数检查表及应用。将三角部分移至几可，并要求“ 三角之正式教授，宜移至高中，但三角应用极广，初中亦不可不知。故宜就实例入手，讲授三角函数定义，及三直角三角形解法，简易测量，余可从略”[14]231. 1932 年《 高级中学算学课程标准》规定第一学年三角部分习对数，测量及航海方面之应用题。 第二学年代数中习对数，特性和应用。 应用题，造表法略论，表之精确度。 1936 年情形亦如上。

1941 年颁布的《 修正初级中学数学课程标准》 由于要“ 适应抗战建国之需要”,教学时数有所减少，内容略有调整。 初中不再学习三角，代数也不再学习对数。 同年的《 修正高级中学数学课程标准》第一学年三角中学习对数理论及应用、三角函数表及三角函数对数表用法。 第二学年代数中习对数。 同年 9 月，颁布《 六年制中学数学课程标准草案》，规定六年制中学，不分初高中，各科全部课程，均采直径一贯之编配，并选成绩优良学校试点。 教材大纲中第三学年代数要求学习对数之特性及其应用，对数表。 第五学年习解任意三角形，测量及航海方面之应用题。

通过梳理近代以来对数教学情况可以得出以下结论。

一是对数作为数学知识引入中国课堂， 主要是学习外国的结果。从京师大学堂到癸卯学制，主要是传教士和中国数学家的贡献。这一时期，学习、研究的是西方传入的对数知识。 1904 年后，主要是学习日本。日本通过明治维新，国力日盛，并在甲午战争中获得了胜利。 晚清政府和国人意识到了科学教育的重要。 大量的留学生赶赴日本，学成之后回国，或着书立说，或投身教育，使得作为“ 西学”的对数顺利进入中国课堂，并被大量学生学习。

通过梳理对数教育的历史，我们可以看出近代较为注重对数的应用，如解三角形、航海等方面均利用对数进行求解，而现代教科书则难觅这些。当然时代在进步，科学在发展，有些知识和方法在不断地更新，我们现在不可能舍易取难，用对数方法去解三角形，但翻阅教科书中对数部分内容，给人的直观感觉就是应用。学以致用，目的性强，容易引发学生的学习兴趣，这点是值得借鉴的。

参考文献

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关于数学史的论文参考范文篇2

浅谈流形概念的演变与理论发展

一、引 言

流形是 20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。 在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。 从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软” 的， 因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形(该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入)的原因。

流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？ 是如何解决的？ 谁解决的？ 形成了什么理论？这是几何史的根本问题。 目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、 细致的分析，并对上述问题给予解答。

二、流形概念的演变

流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 (C.F.Gauss,1777-1855)的内蕴几何思想 ,黎曼(C.F.B.Riemann,1826-1866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。 随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义， 最终外尔(H.Weyl,1885-1955)给出了流形的严格数学定义。

1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系

十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。 1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长， 并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。 高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影， 这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各 3°或 1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上， 然后将椭圆柱面展开成平面。

采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。 当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。 高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的， 并且相邻投影带的坐标可以进行换算。 这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。

大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。 由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。 高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》 使他获得了 1823 年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为 1 时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。 高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：“这些结果为重大的理论铺平了道路。 ”〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。

全面展开高斯的内蕴几何思想的是他 1827 年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，测地三角形内角和不一定等于 180°，它依赖于三角形区域的曲率积分。 高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标(u,v)表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。 突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致？ 这是高斯的几何的基础。 高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。

2. 黎曼的“关于几何基础的假设”

黎曼在 1851 年的博士论文 《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。 在高斯的几何思想和赫巴特(J.F.Herbart,1776-1841)的哲学思想的影响下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。〔5〕2全文分三部分，第一部分是 n 维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。

黎曼在开篇中提到：“几何学事先设定了空间的概念， 并假设了空间中各种建构的基本原则。 关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。 这些假设(诸如空间的概念及其基本性质)彼此之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。 从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。 这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。 因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ”〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：

建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。 黎曼为什么要建立空间的概念？ 这与当时非欧几何的发展有很大关系。 罗巴切夫斯基(N.L.Lobatchevsky,1793-1856) 和波约 (J.Bolyai,1802-1860) 已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。 然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了 n 维流形的概念。 他称 n 维流形为 n 元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。 用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。 黎曼是如何构造流形呢？他的造法类似于归纳法，n+1 维流形是通过 n 维流形同一维流形递归地构造出来的； 反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。 这样每一个 n 维流形就有 n 个自由度，流形上每一点的位置可以用 n 个数值来表示，这 n 个数值就确定了一个点的局部坐标。 黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。 赫巴特在《论物体的空间》中提到：

“ 从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。 ”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了 n 维流形， 这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。 从本质上讲， 黎曼的 “流形” 概念与当时格拉斯曼 (H. G.Grassmann,1809-1877) 的 “ 扩张 ” 概念和施莱夫利(L. Schlafli,1814-1895)的 “连续体 ”概念基本一致 .〔6〕83流形应具有哪些特征呢？ 黎曼提到：

“把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块(Quanta)，这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。 测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。 ”〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，“参与比较的量能够迭加”则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准， 即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为 n 维流形局部与 n 维欧氏空间的同胚。 黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。 他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。 进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。 曲面上的度量概念， 等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。 自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。 从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。

3. 希尔伯特的公理化方法

从 19 世纪 70 年代起，康托尔(G. Cantor,1845-1918)通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。 康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。 希尔伯特在 1902 年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形(希尔伯特称之为平面， 而把欧氏平面称为数平面)，提出了二维流形的公理化定义：

“平面是以点为对象的几何， 每一点 A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。

(1) 一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。 这个单连通区域称为邻域的像。

(2)含于一个邻域的像之中而点 A 的像在其内部的每个单连通区域， 仍是点 A 的一个邻域的像。若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。

(3)如果 B 是 A 的一个邻域中的任一点 ,则此邻域也是 B 的一个邻域。

(4)对于一点 A 的任意两个邻域 ,则存在 A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。

(5)如果 A 和 B 是平面上任意两点 ,则总存在A 的一个邻域它也包含 B. ”

〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，(1)和(2)意味着在平面(二维流形)的任意一点的邻域到数平面(欧氏平面)的某单连通区域上都能建立同胚映射。 (3)-(5)意图是要在平面(二维流形)上从邻域的角度建立拓扑结构。 希尔伯特的定义延续了黎曼指明的两个方向：流形在局部上是欧氏的(这一点黎曼已经以量块迭加的方式提出)，在整体上存在一个拓扑结构。 这个拓扑结构希尔伯特显然要以公理的方法建立 (这一工作后来由豪斯道夫完成，豪斯道夫发展了希尔伯特和外尔的公理化方法，在 1914 年的着作《集论基础》 中以邻域公理第一次定义了拓扑空间)，〔13〕249但与豪斯道夫的邻域公理相比， 他的定义还不完善，比如(3)中描述的实际上是开邻域。 另外，他没有提流形须是一个豪斯道夫空间。希尔伯特已经勾勒出流形的基本框架，随着拓扑学的发展，外尔完善了希尔伯特的工作，给出了流形的现代形式的定义。

4. 外尔对流形的现代形式的定义

(a) 给定一个称为”流形 F 上的点“的集合，对于流形 F 中的每一点 p,F 的特定的子集称为 F 上点 p 的邻域。点 p 的每一邻域都包含点 p,并且对于点 p 的任意两个邻域，都存在点 p 的一个邻域包含于点 p 的那两个邻域中的每一个之内。 如果 U0是点 p0的一个邻域，并且点 p 在 U0内，那么存在点 p的一个邻域包含于 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的两个点， 那么存在 p0的一个邻域和 p1的一个邻域使这两个邻域无交，也就是这两个邻域没有公共点。

(b) 对于流形 F 中每一定点 p0的每一个邻域U0,存在一个从 U0到欧氏平面的单位圆盘 K0(平面上具有笛卡尔坐标 x 和 y 的单位圆盘 x2+y2<1)内的一一映射，满足(1)p0对应到单位圆盘的中心；(2)如果 p 是邻域 U0的任意点，U 是点 p 的邻域且仅由邻域 U0的点组成， 那么存在一个以 p 的像 p′作为中心的圆盘 K, 使得圆盘 K 中的每一点都是 U中一个点的像；(3)如果 K 是包含于圆盘 K0中的一个圆盘，中心为 p′，那么存在流形 F 上的点 p 的邻域 U,它的像包含于 K. ”〔15〕17可以看出，(a)从邻域基的角度定义了 F 是一个豪斯道夫空间。 (b)中的映射为一一的、双向连续的(即同胚)映射，这样(b)定义了 F 中任意一点都有一个邻域同胚于欧氏空间中的一个开集)白话文○(。 外尔给出的这个定义正是现代形式的流形的定义，尽管外尔的定义是针对二维的情形，但本质上给出了流形精确的数学语言的定义， 并且推广到高维没有任何困难。

一般认为，高维流形的公理化定义由维布伦(O.Veblen,1880-1960) 和 怀 特 黑 德 (A.N.Whitehead,1861-1947)于 1931 和 1932 年给出，即把流形作为带有最大坐标卡集和局域坐标连续以及各阶可微变换的点集。 实际上，这种看法没有足够重视外尔1919 年对黎曼讲演的注释， 特别是未能利用外尔1925 年的长文《黎曼几何思想》。 事实上，除了未对高阶微分结构予以明确区分外，外尔的注释和长文中实质上包含了高维微分流形的定义。

三、流形理论的发展

我们上面提到的流形指拓扑流形，它的定义很简单，但很难在它上面工作，拓扑流形的一种---微分流形的应用范围较广。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧氏空间中曲线和曲面概念的推广。 可以在微分流形上赋予不同的几何结构(即一些特殊的张量场)，对微分流形上不同的几何结构的研究就形成了微分几何不同的分支。 常见的有：

1. 黎曼度量和黎曼几何

仿紧微分流形均可赋予黎曼度量，且不是惟一的。 有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度、面积、体积等几何量，这种几何称为黎曼几何。黎曼这篇《关于几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，黎曼几何只限于小范围的理论。 大约在 1925 年霍普夫(H.Hopf,1894-1971)才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是嘉当(J.Cartan,1869-1951)在 20世纪 20 年代开创并发展了外微分形式与活动标架法， 李群与黎曼几何之间的联系逐步建立了起来，并由此拓展了线性联络及纤维丛的研究。

2. 近复结构和复几何

微分流形 M 上的一个近复结构是 M 的切丛TM 的一个自同构，满足 J·J=-1. 如果近复结构是可积的，那么就可以找到 M 上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数， 这时就得到了一个复流形，复流形上的几何称为复几何。

3. 辛结构和辛几何

微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式，这样的流形称为辛流形，辛流形上发展起来的几何称为辛几何。 与黎曼几何不同的是，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究带有很大的整体性。 辛几何与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。

四、结 语

以上谈到的是流形的公理化定义的发展历史，其线索可概括为高斯---黎曼---希尔伯特---外尔。 导致流形概念诞生的根本原因在于对空间认识的推广：从平直空间上的几何，到弯曲空间上的流形概念的历史演变几何，再到更抽象的空间---流形上的几何。 流形概念的一步步完善与集合论和拓扑学的发展，特别是邻域公理的建立密不可分，(微分) 流形已成为微分几何与微分拓扑的主要研究对象，并发展成多个分支，如黎曼几何、复几何、辛几何等。 所以说，几何学发展的历史就是空间观念变革的历史，伴随着一种新的空间观念的出现和成熟，新的数学就会在这个空间中展开和发展。

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关于数学史的论文参考范文篇3

中国古代及近现代数学史探究

中华民族是一个具有悠久历史和灿烂文化的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。研究中国的数学发展历程有着重要的现实意义。

1 中国古代数学的发展史。

1.1起源与早期发展。数学是研究数和形的科学，是中国古代科学中一门重要的学科。中国数学发展的萌芽期可以追溯到先秦时期，最早的记数法在殷墟出土的甲骨文卜辞中可以找到记数的文字。如独立的记数符号一到十，百、千、万，最大的数字为三万，还有十进制的记数法。

在春秋时期出现中国最古老的计算工具---算筹，使用算筹进行计算称为筹算，中国古代数学的最大特点就是建立在筹算基础之上。古代的算筹多为竹子制成的同样长短和粗细的小棍子，用算筹记数有纵、横两种方式，个位用纵式，十位用横式，以此类推，并以空位表示零。这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。

在几何学方面，在《史记·夏本记》中记录到夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，勾股定理中的“勾三股四弦五”已被发现。

1.2中国数学体系的形成与奠基时期。这一时期包括秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。中国古代的数学体系形成在秦汉时期，随着数学知识的不断系统化、理论化，相应的数学专书也陆续出现，如西汉初的《算数书》、西汉末年的《周髀算经》、东汉初年的《九章算术》以及南北朝时期的《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等一系列算学着作。

《周髀算经》编纂于西汉末年，提出勾股定理的特例及普遍形式以及测太阳高、远的陈子测日法；《九章算术》成书于东汉初年，以问题形式编写，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章，特点在于注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系。

中国数学在魏晋时期有了较大的发展，其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽证明了数学定理和公式，详尽注释了《周髀算经》，其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。刘徽的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

在南北朝时期数学的发展依然蓬勃，出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作。最具代表性的着作是祖冲之、祖父子撰写的《缀术》，圆周率精确到小数点后六位，推导出球体体积的正确公式，发展了二次与三次方程的解法。

1.3中国古代数学发展的盛衰时期。宋、元两代是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。出现了一批着名的数学家和数学着作，其中最具代表性的数学家是秦九韶和杨辉。秦九韶在其着作的《数学九章》中创造了“大衍求1术”（整数论中的一次同余式求解法），被称为“中国剩余定理”，在近代数学和现代电子计算设计中起到重要的作用。他所论的“正负开方术”（数学高次方程根法），被称为“秦九韶程序”。现在世界各国从小学、中学、大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律、解题原则。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家，他在1261年所着的《详解九章算法》一书中，给出了二项式系数在三角形中的一种几何排列，这个三角形数表称为杨辉三角。“杨辉三角”在西方又称为“帕斯卡三角形”，但杨辉比帕斯卡早400多年发现。

随后从十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年，数学除了珠算外出现全面衰弱的局面。明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。

2 中国近现代数学的发展史。

中国近现代数学发展时期是指从20世纪初至今的一段时间，开始于清末民初的大批留学生的回国后，各地大学的数学教育有了明显的起色，很多回国人员后成为着名的数学家和数学教育家，在世界都具有重要的影响，为中国近现代数学发展做出了重要贡献，这些着名的数学家及其贡献主要有：

2.1陈景润及其代表作。陈景润是世界着名解析数论学家之一。1966年，陈景润攻克了世界着名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位，距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥，于1978年和1982年两次收到国际数学家大会的邀请，在其他数论问题的成就在世界领域也是遥遥领先的。

2.2华罗庚及其贡献。华罗庚是近代世界着名的中国数学家，对数学的贡献是多方面的。在数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多个复变函数论、偏微分方程及高维数值积分等领域都做出了卓越的贡献。他解决了高斯完整三角和的估计，推进华林问题、塔里问题的结果，在圆法与三角和估计法方面的结果长期居世界领先地位，着作有《堆垒素数论》、《数论导引》、《典型域上的多元复变量函数论》及合着《数论在近似分析中的应用》。他在普及应用数学方法、培养青年数学家等上都有特殊贡献。

2.3苏步青及其成就。苏步青是中国科学院院士，国内外享有成名的数学家。主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究。他在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果，在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就，对培养中国早期的数学人才曾起了巨大的推进作用。

2.4吴文俊及其贡献。吴文俊是数学界的战略科学家，现任中国科学院院士，第三世界科学院院士。曾获得首届国家自然科学一等奖(1956)、中国科学院自然科学一等奖(1979)、第三世界科学院数学奖(1990)、陈嘉庚数理科学奖(1993)、首届香港求是科技基金会杰出科学家奖(1994)、首届国家最高科技奖(2000)、第三届邵逸夫数学奖(2006)。他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，他的“吴方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛重要的应用价值。

3 研究中国数学发展史的重要意义。

与自然科学相比，数学是一门积累性科学，国内外许多着名的数学大师都对数学史都有着深远的研究。研究数学发展史可以为我们提供经验教训和历史借鉴，使我们的科学研究方向少走弯路或错路。从数学发展史中，我们要明白数学是一种文化，是形成现代文化的主要力量，是文化极其重要的因素。数学的概念来源于经验，与自然科学的生活世纪密不可分，在经过数学家严格的加工与推理后形成数学这门科学。研究数学的发展历史，弄清一个概念的来龙去脉，一个理论的兴旺和衰落，影响一种重要思想的产生的历史因素，有利于了解数学的现状，指导数学的未来，更好地接受以及学习数学，从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，从而使数学与我们的生活更加贴切。

参考文献：

[1]王青建。数学史:从书斋到课堂[J]。自然科学史研究，2004,2:152.

[2]郁组权着。中国古算解趣[M]。北京:科学出版社，2004,10:138-141:216-218.

[3]李文林。数学史概论（第二版）[M]。北京：高等教育出版社，2002.

关于数学史的论文参考范文篇4

试谈开展农村小学数学活动课的策略

一、现状

自从国家教育部颁布了《九年义务教育初级中学课程计划》(试行)活动课正式纳入课程设置之中后，一些学校也开始了数学活动课的尝试。但在我们农村小学，许多教师对数学活动课的概念尚模糊，认为数学活动课就是数学课外活动，而且由于条件限制，许多教师在教学时还是为考试而教，学生为考试而学，不注重学生数学素质与能力的培养，数学活动课的开展更无从谈起。这些都说明，在农村小学开展数学活动课是迫切需要的，对提高农村小学数学教学质量起到积极的推动作用。

二、对策

1.改变以往单一的教学理念，提高认识，明确小学数学活动课在小学数学教育中的地位和作用

只开设数学学科是不能完全实现小学数学教学目标的，换句话说开设活动课能更好地实现小学数学教学目标。对于数学活动课程的开设，有的老师担心，学生的负担本来就很重， 再加一门活动课，不是更重了吗？这种担心是不必要的，因为设立数学活动课不是增加一门新的学科课程，而是将数学学习中难以有效进行的一些内容通过活动课来完成。实践证明，以主题形式设计的学习内容，和以小组、个人等形式为主的教学组织，有利于发挥学生的学习积极性和自主性。因此，它不仅不会加重学生的学习负担反而会有效地促进学生综合能力的提高，对提高学生的学习质量产生积极的影响。从笔者曾参加过的数学活动课来看，学生对数学活动课不仅没有负担感，而且表现出很大的兴趣和积极主动性，他们动手操作，动脑思考，交流信息，观察分析，归纳概括，联想创新，能轻松地达到教学目标。同时也是小学活动课的重要组成部分，对于全面培养提高学生素质，实现义务教育的培养目标是不可缺少的重要活动之一。

2.根据农村地方不同特点，探索行之有效、丰富多彩的开展数学活动课的方式，让学生充分发挥其主动性、积极性和创造性

虽然已经认识到小学数学活动课的重要意义，但要设计好小学数学活动课，使其发挥更大的作用，还必须选择好活动内容及形式，做到精选内容、形式恰当。而农村小学数学活动课的形式也应根据设计活动课的目标、主题、特点不同而选择适当的方法，笔者认为常见的活动课有以下几种形式：

2.1探究型活动课：对日常生活中蕴涵的数与形的现象，通过老师或学生提出问题，学生自主活动，探索其数量关系或空间形式的规律，建立数学模型，运用数学方法，解释或解决这一现象。

2.2演讲型活动课：结合有关数学知识的教学，通过故事演讲活动的形式，让学生更多地了解数学历史、数学知识，增长知识，激发学生热情。

2.3才艺展示型活动课：这是以文艺和游戏为主要形式的数学活动课。通过文艺演出和游戏活动，使学生在玩中乐、乐中学，可以有效地达到教学目的。

2.4动手操作型活动课：数学实践活动它在形式上绝不是单纯的户外活动，而是融合于各个领域的学习内容之中，是整个教学过程的一部分。它可以表现为课堂内的经历探索；也可以表现为课内外相结合；还可以是完全置身于社会这个大环境下的调查活动。如学生通过做一做、折一折、拼一拼、量一量、剪一剪等具体操作活动，在做中学、学中做，教、学、做合一，既能巩固所学知识，又能培养学生的操作能力和运用所学知识解决实际问题的能力，培养了学生的创新意识。

2.5总结汇报型活动课：即指导学生撰写数学学习小论文进行汇报的活动课。撰写的小论文包括学习数学课程的心得体会、对数学概念的理解、数学定理的应用、解题方法等。然后让学生在班上进行交流汇报。它能加深学生对数学课程的理解，发挥他们的才能，增强创新意识和开拓精神。

3.在各环节加强开展数学活动课的学习、探索、研究和管理，确保数学活动课的教学质量。有了对数学活动课的正确认识，明确了开展数学活动课的常见内容和方式，还应在开展数学活动课的各个环节中加强探索、管理，使数学活动课的开展收到良好的效果，必须做好以下几方面工作：

3.1制定好活动课的教学计划，并认真贯彻执行。

每学期初，教研组和老师应在认真研究教学计划和教材内容的基础上，结合学生实际， 内容、时间和形式。在开展中要认真贯彻执行教学计划，避免随意性及应付思想等。

3.2认真进行课前准备。

准备工作可由教师和学生分头进行。教师应根据活动课计划写出活动课教案，根据活动课内容，结合教材，认真分析学生现有的实际水平，选择恰当的方法，设计活动程序，还要考虑到活动中遇到的问题，准备好对策。同时教师也应让学生明确该准备工作，活动课的成功与否，很大程度取决于活动课前的准备工作，因此，教师一定要做好周密细致的安排。

3.3精心组织教学过程。

与学科教学过程一样，活动课教学过程中，也以学生为主体，教师发挥主导作用。但其中的“主体”和“主导”作用体现在以学生的“活动”为中心的教师的“导演”中。这就要求教师有较高的组织才能和高超的“导”的艺术，对教师的素质、责任心等提出了很高的要求。

3.4及时总结，并严格进行评价考核。

每次活动后，教师应及时对学生活动情况进行评析，评析应准确、精练、有趣，让学生在充满收获的喜悦中结束活动，并作好记录，写出活动小结。一个学期结束时，要对每个学生上活动课的情况进行考核，还要评定成绩，记入学生档案，使每位同学认识到它的重要性。

总之，在农村小学开设并上好数学活动课，是符合素质教育要求的。它能给学生创造开阔的空间，打破课堂教学的框框，利用丰富多彩的形式，引导学生向实践、生活、社会学习知识，既增加知识，开阔眼界，提高鉴别和欣赏能力。同时，它对提高教师的业务水平、提高教学质量，都有很大的促进作用。

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