用“巧”法，解决函数中平行四边形存在性问题

张亚男

四边形结合图形的变化、坐标是中考中常见的考题，特别是在压轴题中，特殊四边形的应用更为广泛，还常常伴随多解问题。下面结合一些中考压轴题总结这类题型的解法。

一、巧用对角线，利用中点坐标重合求解

例1 （2022·辽宁阜新）如图1，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像交x轴于点A（-1，0）、B（5，0），交y轴于点C。

（1）求这个二次函数的表达式。

（2）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；
若不存在，请说明理由。

【解析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y=-x2+4x+5。

（2）由B（5，0）、C（0，5）得直线BC的表达式为y=-x+5。设Q（m，-m+5）、P（n，-n2+4n+5）。此時，要分情况分析：①当PQ、AC是对角线时，则PQ、AC的中点重合，有

[m+n=-1+0，-m+5-n2+4n+5=0+5，]解得Q（-7，12）；
②当QA、PC为对角线时，则QA、PC的中点重合，同理可得Q（7，-2）；
③当QC、PA为对角线时，则QC、PA的中点重合，同理可得Q（1，4）或（2，3）。

【点评】本题考查二次函数和平行四边形的综合应用。直接画出大致图像较难，所以，我们要充分利用平行四边形的对角线互相平分这一性质，通过对对角线进行分类讨论，借助中点坐标公式巧解问题。

二、巧用平移，利用平移方向相同求解

例2 （2022·四川资阳）已知二次函数图像的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（-1，0）。

（1）求二次函数的表达式。

（2）如图2，将二次函数图像绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D。

①连接AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值。

②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图像上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由。

【解析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y=-x2+2x+3。

（2）①过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E（图略），根据∠BAD=∠BEA=90°，又因为∠ABE=∠DBA，可证明出△BAE∽△BDA，从而得出AB2=BE?BD。将BD=2（m+1），BE=2，AB2=20代入，可得m=4。

②根据上问可以得到C（7，-4），点M的横坐标为4。要让以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况讨论。第一种情况，当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，所以将点M向左平移8个单位，得Q（-4，y1），代入y=-x2+2x+3，可得Q（-4，

-21）；
当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，所以将点M向右平移8个单位，得Q（12，y2），代入y=-x2+2x+3，得Q（12，-117）。第二种情况，当以BC为对角线时，利用中点坐标公式得Q（2，y3），代入y=-x2+2x+3，得Q（2，3）。

【点评】对第（2）题的第②问，利用已知线段的平移方向和平移距离，计算得出另一组点的平移，得到点坐标，进而代入求解。此方法从另一种角度解决了平行四边形存在性问题。

三、巧用特殊，解决菱形存在性问题

例3 （2022·辽宁朝阳）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3），连接BC。

（1）求抛物线的表达式及点B的坐标。

（2）动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P、M、B、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；
若不存在，请说明理由。

【解析】（1）抛物线的表达式为y=x2+2x-3，点B的坐标为（-3，0）。

（2）要使以点P、M、B、N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM=BM、PM=PB和BP=BM三种情况。结合图像，进一步得出点N坐标为（-3，[-32]）或（-2，1）或（0，3-[32]）。

【点评】本题虽然考查的是菱形的存在性问题，但是通过分类讨论，结合菱形的性质，可以转化成等腰三角形存在性问题。

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区豫新初级中学）

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