一道课本练习题的再思考

张富庆

【摘要】 课本是重要的数学资源，课本中的例题、习题是教材编者精心挑选的具有代表性的一些问题，是理解概念、性质、判定并学会运用它们解决问题的助推器，其蕴含着丰富的数学思想和数学方法，有广阔的内涵和外延，是中考乃至其他命题的重要题源，故应该对一些重要的例题、习题进行再思考，挖掘出一系列结论，感悟典型例题习题的再生性，体现课本习题的潜在功能，实现课本资源利用最大化.

【关键词】 课本练习;再思考

题源 有这么一道习题：如图1，△ABC和△CDE是等边三角形，△EBC可以看做是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到，试说明得到△EBC的过程.

这道数学练习题实际上是运用旋转思想让学生说明△DAC是如何得到△EBC的！比较容易理解，我们可以对这道练习题进行再思考，挖掘其他一些有价值的结论！

1 挖掘其他三角形全等

本题不管是运用三角形全等还是旋转知识去解释，都能得到结论△ADC≌△BEC，事实上我们还可以挖掘出其他一些全等三角形，如△APC≌△BQC和△DPC≌△EQC（在这不赘述证明）

结论1 △APC≌△BQC和△DPC≌△EQC.

2 挖掘相关线段、角的结论

根据三角形全等性质，很明显容易想到一些线段或角相等的结论，由△ADC≌△BEC显然容易得出：

结论2 AD=BE，∠1=∠2，∠3=∠4.

同理根据△APC≌△BQC和△DPC≌△EQC，也容易得出：

结论3 AP=BQ，PC=QC，PD=QE，

∠APC=∠BQC，∠DPC=∠EQC，

∠ACP=∠PCQ=∠QCE=60°，∠POQ=120°.

如果继续再连接OC，根据△APC≌△BQC，所以△APC和△BQC的面积相等，又AP=BQ，显然由等面积法可得出这两边上的高相等，所以根据角平分线的判定定理很显然CO平分∠POQ.

结论4 OC平分∠POQ或∠POC=∠QOC=60°.

3 挖掘特殊三角形和线段的特殊位置关系

顺着上面的思路，根据三角形全等知识，如果连接PQ，显然可以发现△PCQ是等边三角形，也就说∠ACP=∠QPC=60°，

即PQ∥AE.

结论5 △PCQ是等边三角形.

结论6 PQ∥AE.

4 挖掘四点共圆

我们知道，证明多点共圆，常有三种处理策略：

一是依据圆的定义，即证明动点到某点是定值（定点对定长）.

二是逆用圆周角性质，即证明动点对一定线段的张角为定值（定弦对定角）.

三是利用四边形中如果对角互补，那么该四边形四个顶点共圆.对于本练习题，我们进一步思考挖掘，可以发现该图形中蕴含着多个四点共圆的知识（结论7、8）.

我们知道，在△PBO和△PAC中，∠1=∠2，∠BPO=∠APC，显然根据三角形内角和定理，我们可以发现∠BOP=∠ACP=60°，

所以∠POQ+∠PCQ=120°+60°=180°，

即四边形OPCQ的四个顶点共圆.

结论7 四边形OPCQ的四个顶点共圆.

如图6，连接OC，根据∠1=∠2，∠3=∠4，易得四边形ACOB的四个顶点和四边形DOCE的四个顶点共圆.

结论8 四边形ACOB的四个顶点共圆;四边形DOCE的四个顶点共圆.

5 挖掘动点轨迹

如果点C是线段AE上的一动点（不与端点重合），△ABC和△DCE在线段AE同侧的等边三角形，那么点C在线段AE上运动过程中，线段AD和BE的交点O的轨迹是怎样的图形？

如图7，在点C运动过程中，∠POQ=120°，所以根据圆周角性质，可以发现动点O对定线段AE的张角永远为定值，所以点O的轨迹是一段弧.

结论9 动点O的轨迹是⊙M中，弦AE上方的一段弧（不含点A，E）.

动点轨迹问题经常在中考试题中出现，例如2016年山东日照市数学中考试题中，就出现一道类似的试题：

原题（节选）：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形叫做符合这个條件的点的轨迹，如图8，P为线段AB上一动点（点P不与点A，B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连接AD，BC，交点为Q.

（1）求∠AQB的度数;

（2）若AB=6，求动点Q运动的轨迹长.

显然第1问，根据前面我们讲解过的知识，虽然点P在线段AB上的位置不同，但是∠AQB=120°不变，

第2问，同样我们知道，点Q的轨迹是弦AB所对应的一段劣弧AB（不包括端点A，B），如图9，假设劣弧AB所在圆为⊙O，

因为∠AQB=120°，

所以∠AOB=120°，

过点O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得

BE=AE=12AB=3，∠BOE=60°，

在Rt△OBE中，

OB=BEsin60°=332=23，

由扇形的弧长公式可得劣弧AB的长

L=120180π·OB=23×23π=43π3.

即动点Q的轨迹长为43π3.

6 挖掘其他结论

0

当然，对于该题我们还可继续深思，如图10，如果连接OC，且在AO上截取OH=OC，那么显然根据前面的探究，我们容易得到△COH是等边三角形;△AHC≌△BOC;AH=BO或AO=BO+CO等结论.

结论10 △COH是等边三角形图11

△AHC≌△BOC，

AO=BO+CO，

……

如图11，如果点A，C，E不共线，其他条件保持不变，那么又会衍生出那些结论呢？原先的结论是否会成立呢？这里不再赘述，感兴趣的读者可以继续探究.

显然，我们通过对这道练习题的探究，可以发现其蕴含着丰富的数学思想和方法，尤其在中考复习中，我们多对一些课本上重要的例题、习题进行再思考，多角度多思维去挖掘习题应有的深度和广度，可以提高我们的学习效率.

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