基于观测器的中立时滞系统自适应滑模控制

成 咪，陈志梅

(太原科技大学 电子信息工程学院，太原 030024)

滑模控制作为实现鲁棒性、快速响应以及对匹配不确定性和外部干扰不变性的一种有效方法，已被广泛应用于时滞系统。文献[1]通过设计含有中立时滞项的积分滑模面，保证了系统的全局鲁棒性。文献[2-3]分析了具有时变时滞以及非线性扰动的中立型时滞系统的稳定性。文献[4-5]通过构造状态观测器设计了滑模控制律。文献[6]中作者采用基于非脆弱观测器的滑模控制方法，解决了一类具有输入非线性时滞马尔可夫跳跃问题。文献[7]针对一类不确定非线性中立时滞问题，结合滑模控制理论与趋近律技术设计了基于观测器的控制器。

通过上述文献可知，非线性的存在对系统的影响同样不可忽视，比如，非线性扰动以及控制器存在的非线性效应。大多数学者分析系统时都以确定的上界为前提[8-11]，然而实际应用中这个假设很难满足，因此如何设计自适应控制方案处理非线性问题也是专家学者研究的重点。上述这些问题，使得对含有外部扰动、时变时滞以及非线性输入约束的不确定时滞系统的研究更为重要。

本文研究一类具有外部干扰、输入非线性和不确定性的中立时滞系统，在其状态不可测的条件下，对系统进行状态重构，并设计基于估计状态的自适应滑模控制器，保证系统在有限时间内到达滑模面，并一直运动于滑模面上，同时利用Lyapunov 泛函法以及LMI等技术，得到闭环系统渐近稳定条件。

考虑如下具有时变时滞的不确定非线性系统：

(1)

其中，x(t)∈Rn为状态向量，u(t)∈Rm为控制输入，y(t)∈Rp为系统输出量，φ(u(t))表示u(t)的非线性函数，f(x(t))为系统扰动，A，Ah，B，C，C0为适当维数的常数阵，d>0为常数，ΔA和ΔAh为参数不确定函数矩阵，并满足:

[ΔA，ΔAh]=MF(t)[N1，N2]

(2)

其中，M，N1，N2为已知的相应维数的常数矩阵，F(t)为未知的矩阵函数且满足:

FT(t)F(t)≤I

(3)

系统满足如下条件:

假设2:对任意的x1,x2,f(x)，满足‖f(x(t))‖≤l‖x(t)‖,l>0

假设3:系统的非线性输入φ(u(t))满足uTφ(u(t))≥γuTu，γ为正常数。

引理2：设M，N，F(t)是具有适当维数的实矩阵，并满足FT(t)F(t)I，则对于任意ε>0，以下不等式成立：

引理3[12]：(Jense不等式)对于任意给定的对称正定矩阵M>0，标量γ>0以及向量函数ω:[0，γ]→Rn，下列不等式成立：

由于状态变量未知，为了获得估计状态，首先设计如下形式的状态观测器:

(4)

(5)

可以得出等效控制律为:

φ(u(t))eq=

(6)

(7)

(Ah+ΔAh)e(t-h(t))+

(8)

这部分主要设计自适应滑模控制器使估计状态在存在非线性输入和不确定性情况下到达滑模面，控制律设计为:

(9)

(10)

取自适应律如下:

(11)

参数偏差为:

(12)

其中η、q1、q2为正常数。

定理3.1假若设计的控制律u(t)为式(11)，则观测器系统(4)的运动轨迹能在有限时间内到达滑模面s(t)=0.

证明：取Lyapunov函数

(13)

根据(11)与假设3，可得

(14)

‖s(t)‖=-η‖s(t)‖

定理4.1考虑估计状态空间表达式(7)和误差系统(8)，若存在矩阵Q1>0，Q2>0，M1>0，M2>0，M3>0，M4>0，L，K，εi>0使下列线性矩阵不等式成立：

Ξ<0

(15)

则误差系统和估计状态滑模系统是渐进稳定的。

Φ11=Q1(A-LC)+(A-LC)TQ1+

Φ13=CTLTGTQ2

(A+BK)TQ2+M2+M4

Φ66=-M4

Γ17=[Q1M，Q1M，l，l，0，0]

Γ77=

diag[-ε1I，-ε2I，-ε3I，-ε4I，-ε5I，-ε6I]

*代表对称矩阵的相应元素

证明：构造Lyapunov-Krasovskii函数如下：

(16)

V1=[e(t)-C0e(t-d)]TQ1[e(t)-C0e(t-d)]

对V进行求导：

M1e(t-h(t))

根据引理(3)可得：

2eT(t)Q1[ΔAe(t)+ΔAhe(t-h(t))]≤

N2e(t-h(t))]T[N1e(t)+N2e(t-h(t))]

N2e(t-h(t))]T[N1e(t)+N2e(t-h(t))]-

(17)

根据(17)并结合引理1可得：

(18)

为了证明控制器的有效性，进行如下仿真实验。

例1:考虑误差系统和估计状态系统中的矩阵:

q1=q2=0.01，

非线性扰动f(x)=0.5 sint

非线性输入φu(t)=(0.8+0.1sinu(t))u(t)

应用MATLAB中的LMI工具箱求解定理4.1中的LMI，得到如下结果:

将以上数值代入(9)和(10)，并设初始状态

[x1(0)，x2(0)，x3(0)]=[0.1，-0.2，0.06]，

图1 系统状态x与的轨迹

图2 控制输入u(t)

图3 滑模面

图参数估计

图参数估计

对具有非线性输入和扰动的中立时滞系统提供了有效的控制方案。利用状态观测器解决了状态未知问题，给出了系统渐进稳定性判据，并通过LMI工具箱得到系统的控制器增益以及观测器增益。滑模控制与自适应控制相结合的方法，除了解决未知的非线性上界问题，还满足系统轨迹对预定积分型滑模面的可达性。对于输入非线性和不确定性上界在实际中难以确定的问题，自适应控制方法是解决此问题的一种有效工具。

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