一类二阶混合边值问题的正解

发布时间：2023-10-12 10:50:10 来源：网友投稿

王志森，旷菊红，袁利国

（1.五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020；
2.华南农业大学数学与信息学院，广东广州 510642）

本文主要研究一类二阶混合边值问题的正解

其中f∈C（ R,R ）,a是一个给定的正数.

混合边值问题解的存在性已经被很多学者广泛研究[1-5]，但关于二阶混合边值问题正解的研究相对较少，本文将采用离散变分法和逐步逼近相结合的方法研究方程（1）的正解.离散变分法由郭志明教授和庾建设教授在2003 年首次提出[6-7]，随后离散变分法广泛应用于离散系统周期解和同宿解等问题的研究，最近文献[8]提出应用离散变分法和逐步逼近相结合的方法研究二阶哈密顿系统的最小周期问题，本文将该方法推广到研究一类二阶混合边值问题的正解，首先我们将式（1）按给定的步长离散，并应用离散变分法得到一系列对应不同步长的正解；
然后利用折线法构造一个函数序列，并证明这个函数序列存在一致收敛的子序列；
最后证明这个收敛子序列的极限函数是方程（1）的正解.

定理1假设f满足

其中c＞ 0且μ＞ 2.容易验证 f1-f4）成立，则由定理1 可得式（1）至少存在一个正解.

为了证明定理1，我们需要以下引理.

引理3假设f满足条件 f1-f4），则式（4）至少有一个正解un.

证明我们分三步证明.

由引理2，我们可以选择充分大的j，使得

下面证明定理1.

证明首先我们定义

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