非轻质串并联弹簧系统理论分析及有限元仿真

魏彤，王宏伟，于肇贤，夏丽莉

(北京信息科技大学 理学院，北京 100192)

复杂弹性系统是由简单串并联弹性系统组合而成，对简单串并联弹性系统的分析成为研究复杂弹性问题的基础。近年来涌现了很多对双弹簧的相关理论研究，如王立明、钟承勇等对对称双弹簧的非线性运动和线性运动的振动轨迹进行研究，得到系统运动特征，以及振动周期在不同参数下的变化规律[1-2]；
杨正波等[3]对多个弹簧振子横振动系统进行研究分析；
黄焱等[4]研究了双弹簧竖直方向振动系统的规律。上述研究将弹簧看成轻质弹簧，忽略了弹簧的自身质量。对于弹簧自身质量的研究，也有相关文献报道。如刘世清[5]对非轻质单弹簧的等效质量进行研究，确定系统总质量除了质量块质量外，还附加了1/3的弹簧质量；
黄兆梁、何连超等研究有质量弹簧振子的振动周期，得出非轻质弹簧振子的振动不再是严格的周期性振动，而是准周期性振动[6-7]；
沈钟伟等[8]在考虑弹簧质量的振动条件的基础上，建立了有效质量系数的高精度近似表达式；
杨晶然等[9]研究弹簧质量对振动及波动特性的影响；
邱伟华[10]对单自由度弹簧质量系统固有频率进行研究，采取能量法和牛顿第二定律法比较考虑和忽略弹簧自身质量两种情况对固有频率的影响；
何香林等[11]利用多普勒效应综合实验仪测量串联弹簧等效质量，分析两串联弹簧等效质量与弹簧自身质量及所处位置的关系；
柯红卫等[12]对有质量弹簧振子的振动进行研究，分析有质量的弹簧处于动态情况下不同位置的受力情况。

本文通过理论分析和有限元仿真对非轻质弹簧串并联系统的单弹簧等效性问题进行研究，确定了等效质量和等效弹性常数，拓展了研究多弹簧等效质量的途径，对实际工程应用提供了一定的理论基础。此外，该理论对于今后研究高顺性扬声器以及质量不能忽略的弹性材料具有一定的意义。

1.1 串联系统的等效参数

图1为非轻质弹簧串联相接示意图，规定上面是弹簧1，下面是弹簧2。设弹簧1的长度为l1,质量为m1且均匀分布，弹性系数为K1；
弹簧2的长度为l2，质量为m2且均匀分布，弹性系数为K2；
M为质量块的质量。其中x为竖直方向的坐标，弹簧在x=0端固定，在x=l1+l2端与质量块相接。

图1 非轻质弹簧串联相接示意图

假设弹簧的伸缩是均匀的，令弹簧1的伸长位移为ξ1，弹簧2的伸长位移为ξ2，将弹簧分成很多个小元段，长度为dx，则有：

(1)

(2)

式中：ξx1为弹簧1任一位置处的总位移；
ξx2为弹簧2任一位置处的总位移与弹簧1的伸长位移的总和。

由式(1)、(2)可以推出弹簧的速度方程为：

(3)

(4)

式中：υx1为弹簧1任一位置时的元段速度；
υx2为弹簧2任一位置时的元段速度，且：

(5)

(6)

其中：υ1为弹簧1伸长位移为ξ1时的速度；
υ2为弹簧2伸长位移为ξ2时的速度。若质量块速度为υ，则有：

υ=υ1+υ2

(7)

因为质量块的质量远远大于弹簧1和弹簧2的质量和，并且弹簧1和弹簧2串联相接，不妨假设有这样的关系：

K1ξ1=K2ξ2

(8)

从而可以推出：

(9)

即:

K1υ1=K2υ2

(10)

弹簧1的元段质量和弹簧2的元段质量分别为：

(11)

(12)

因此在x处的动能可以表示为：

(13)

(14)

式中：dEk1为弹簧1任一位置处元段的动能；
dEk2为弹簧2任一位置处元段的动能。由此可得弹簧1和弹簧2的总动能分别为：

(15)

(16)

则两个弹簧的总动能为

Eks=Ek1+Ek2

(17)

将式(15)、(16)代入式(17)可得：

(18)

Ek=Ekm+Eks

(19)

由式(7)和式(10)可以得到速度υ和速度υ1、υ2之间的关系，则式(19)可以写为

(20)

(21)

从式(21)可以看出，非轻质弹簧串联相接时，其等效质量为

(22)

而两个弹簧串联的等效弹性系数为

(23)

于是串联系统的理论谐振频率为

(24)

1.2 并联系统的等效参数

图2为非轻质弹簧并联相接示意图，规定左边为弹簧1，右边为弹簧2。假设弹簧1的长度为l,质量为m1且均匀分布，弹性系数为K1；
弹簧2的长度为l，质量为m2且均匀分布，弹性系数为K2；
M为质量块的质量。

图2 非轻质弹簧并联相接示意图

弹簧在x=0端固定，在x=l端与质量块相接。假设弹簧的伸缩是均匀的，令弹簧1的伸长位移为ξ1，弹簧2的伸长位移为ξ2，其中ξ1和ξ2相等；
将弹簧分成很多个小元段，长度为dx，则有：

(25)

(26)

式中：ξx1为弹簧1任一位置处的总位移；
ξx2为弹簧2任一位置处的总位移。则弹簧的速度方程为：

(27)

(28)

式中：υx1为弹簧1任一位置处元段的速度；
υx2为弹簧2任一位置处元段的速度；
υ1为弹簧1伸长位移为ξ1时的速度；
υ2为弹簧2伸长位移为ξ2时的速度。且

(29)

(30)

若设质量块M的速度为υ，则有：

υ=υ1=υ2

(31)

弹簧1的元段质量和弹簧2的元段质量分别为：

(32)

(33)

所以在x处的动能可以表示为：

(34)

(35)

式中：dEk1为弹簧1任一位置处元段的动能；
dEk2为弹簧2任一位置处元段的动能。由此可得弹簧1和弹簧2的总动能分别为：

(36)

(37)

则两个弹簧的总动能为

(38)

通过化简得到：

(39)

Ek=Ekm+Eks

(40)

由式(31)，可以得到速度υ和速度υ1、υ2之间的关系，代入式(40)可得：

(41)

从式(41)可以看出，非轻质弹簧并联相接时，其等效质量为

(42)

可以发现当两个弹簧并联相接时，其等效质量与两个弹簧的自身质量相关，与弹性系数无关。显然，从上式可以得知n个弹簧并联的等效质量为

(43)

而两个弹簧并联的等效弹性系数为

K′=K1+K2

(44)

于是并联系统的理论谐振频率[13]为

(45)

为了更好地确定非轻质弹簧串并联相接后的等效参数，本文通过有限元分析软件[14]对上述两种情况进行建模仿真。质量块采用的是mass21单元，通过对mass21单元的实常数的定义确定质量块的质量。由于ANSYS单元库的弹簧单元combin14是轻质弹簧，因此采用二维梁单元beam3来模拟非轻质弹簧。

因beam3单元并不能直接用来模拟弹簧，该单元材料属性只有弹性模量等相关参数，不能直接输入弹性系数。根据材料的弹性系数和弹性模量之间的关系：

(46)

式中：K为弹性系数；
E为梁的横截面积；
L为梁的高度。可得beam3梁单元的弹性系数和梁的横截面积、高度以及弹性模量有关。为方便计算，令横截面积A为1 m2，高度L为1 m，这样输入弹性模量的值就相当于弹簧的弹性系数。因为体积为1 m3，所以将非轻质弹簧的质量输入到材料属性处的密度框即可。

2.1 串联系统仿真

首先建立弹簧串联模型，并对模型赋予设置好的单元属性。接着划分网格并约束自由度，对弹簧的固定一端作全约束，弹簧另一端对除纵向移动自由度以外约束剩余的自由度。对串联模型作固有模态分析求解前6阶固有频率，可计算得到谐振频率以及串联模型的振动模态，仿真结果如图3所示。

图3 串联模型的振动模态

保持弹簧1的质量m1、弹簧2的质量m2、弹簧1的弹性系数K1以及质量块的质量M不变，改变弹簧2的弹性系数K2，得到对应的谐振频率，并绘制出非轻质弹簧串联模型的谐振频率随弹性系数K2与K1比值变化的曲线，如图4所示。

图4 串联模型的谐振频率

2.2 并联系统仿真

同样地对非轻质弹簧并联系统进行仿真，其振动模态和谐振频率如图5所示。

图5 并联模型的振动模态

保持弹簧1的质量m1、弹簧2的质量m2、弹簧1的弹性系数K1以及质量块的质量M不变，改变弹簧2的弹性系数K2大小，得到其对应的谐振频率。非轻质弹簧并联模型的谐振频率随弹性系数K2与K1比值变化的曲线如图6所示。

图6 并联模型的谐振频率

保持两个弹簧质量m1和m2，弹簧1的弹性系数K1以及质量块的质量M不变，分别代入式(24)和式(45)计算出随弹性系数K2的变化，对应的非轻质弹簧串并联系统谐振频率f的理论值，将该理论值与ANSYS仿真求解出的谐振频率进行比较，进而证明非轻质串并联弹簧系统理论分析的正确性。

3.1 串联系统理论分析与仿真结果对比

非轻质弹簧串联相接的仿真结果与理论结果对比如图7所示。

图7 串联模型的仿真与理论对比

对比理论和仿真结果，其相对误差为0.098%，基本吻合。并且随着弹性系数K2与K1比值逐渐增大，谐振频率f也逐渐增大；
当K2≪K1时，谐振频率f近似于弹簧1为刚性物体时的谐振频率，同样地，K1≪K2时，谐振频率f近似于弹簧2为刚性物体时的谐振频率。

3.2 并联系统理论分析与仿真结果对比

非轻质弹簧并联相接的仿真结果与理论结果对比如图8所示。

图8 并联模型的仿真与理论对比

对比结果显示相对误差为0.000 14 %，说明理论和仿真结果吻合。

3.3 串联系统误差分析

串联理论与仿真结果相对误差为0.098 %，这是由于在前述非轻质弹簧串联系统的理论分析中，假设弹簧的每个元段所受到的拉力相同。实际上，非轻质弹簧在存在加速度的情况下会产生非惯性力，而非惯性力存在的情况下，每个元段所受到的拉力并不相同。因此，得出的理论具有近似性。但是这并不妨碍对非轻质弹簧等效质量的研究，在弹簧自身质量不可忽略的情况下，本文分析方法将非轻质弹簧串联系统等效为一个质量—弹簧系统，相比传统忽略弹簧质量的研究结果更为精确。

本文对非轻质弹簧串并联相接模型的等效参数进行理论分析，得出了非轻质弹簧串并联系统的等效质量与等效弹性系数，并将所得结果与有限元仿真分析结果对比。结果表明，串联弹性系统理论分析与仿真结果相对误差为0.098 %，并联弹性系统理论分析与仿真结果相对误差为0.000 14 %，该理论分析是可靠有效的。同样地，本文分析方法也适用于N个非轻质弹簧串并联复杂系统，在实际工程应用中，该分析结果具有一定的指导性。

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