基于Vague集与信息公理的构造柱抗震加固方案优选研究

符浩彬

(南阳理工学院南阳人居节能重点实验室 河南 南阳 473004)

砌体结构具有施工工艺简单、取材便捷与造价低廉等显著特征，在我国特别是乡镇农村地区得到广泛应用。据统计，从20世纪80年代至今，我国大中城市的多层砌体结构面积已达81亿m3[1]，考虑到我国城镇化水平与经济发展速度等因素，在未来一段时间内，砌体结构仍然为我国经济欠发达地区与乡镇农村的主要建筑结构形式，由于砌体结构的抗剪强度低，整体性差，且在建造的时候，多数未考虑结构的抗震设防要求或抗震设防标准较低[2]，因此，在历次地震灾害发生中，极容易导致建筑物发生倾斜或倒塌，从而造成大量财产损失与人员伤亡。因此，为了提高与改善砌体结构的抗震性能，可采取增设构造柱或圈梁的方式，在纵横墙连接处配置拉结钢筋，来对墙体进行约束，从而提高砌体结构的抗剪能力与抗震延性，对于保障我国地震易发区的生命财产安全，具有重要工程价值与科学研究意义。

近年来，伴随着建筑抗震加固技术的迅速发展，许多新的加固技术与材料如消能隔震、碳纤维与结构胶等相继出现，加固手段与加固工艺也趋于多样化，某一个构件的加固往往可通过几种方式实现[3]，事实上，砌体结构加固的内涵并非单个构件的补强，应注重结构的整体性与抗震延性设计，而抗震加固方案的优选与评价指标、评价主体与评价标准的界定有很强的关联性[4]，特别是当加固方案影响指标呈现模糊性与不确定性特征时，由于加固方案优选指标语言值的不确定性与区间性，其属性指标与评价信息是不精确的，当权重度量值未确知时，采用传统的评价理论与方法在计算区间信息量时，会导致评价结果产生一定的偏差。Vague集为模糊理论的推广与延伸[5,6]，它包含了肯定和否定的属性信息，使得该理论在处理不确定性问题时，比传统的模糊理论具有更强的表达能力，且更加灵活实用；
公理设计理论的信息公理可为多属性决策优选与评价提供一种新的借鉴与思路[7,8]，该理论通过计算各评价方案决策指标满足功能要求的概率，进而确定各评价方案的信息量属性，以其属性大小来进行择优评价，它通过评价范围来界定各指标的相对重要性，而不是从决策者的主观经验出发，可有效避免决策者主观认知对评价结果的影响。鉴于此，本研究综合考虑区间权重和Vague集区间属性信息，提出一种集成Vague集和信息公理各自优势的构造柱抗震加固方案优选模型，并通过实例验证其有效性。

定义x∈U(U≠Φ)，设闭区间[tA(x)，1-fA(x)]是Vague集A在点x的Vague值[9]，则tA(x)+fA(x)≤1，且有0≤tA(x)≤1，0≤fA(x)≤1。tA与fA分别为Vague集A的真隶属函数与假隶属函数，表征为支持与反对x∈A的隶属程度。则可采用指标量化法计算评价方案的Vague值，根据量化值确定真隶属度t与假隶属度f，进而得到各评价方案的Vague集。

对于效益型指标有

(1)

(2)

对于成本型指标有

(3)

(4)

上式中：v是各评价方案对于决策指标的量化值；
vmax与vmin分别为该决策指标的理论最大值与最小值，对于定量指标，vmax=max(v)×1.05，vmin=min(v)×0.95；
对于定性指标，vmax=10，vmin=0。

2.1 信息公理

公理设计(Axiomatic Design)是一种设计决策理论[10]，该理论认为评价方案中信息量最少的为最优方案或期望值。信息含量Ii由满足给定功能特性要求的概率的对数函数来确定，表征为

(5)

式中，Pi为满足系统方案功能特性要求的概率。

当系统中各方案功能特性为连续随机变量时，系统的概率密度函数ρSD(FR)呈随机分布，概率Pi为

(6)

式中：hs和ls分别为评价方案满足给定功能特性要求概率的上限与下限。

因此，满足系统评价方案功能特性要求的概率Pi可由设计范围Dri和系统范围Sri的重叠区域Rri[11]表征，即满足功能特性要求的唯一区域(如图1)，式(5)可用式(7)代替表示为

(7)

图1 功能要求的设计范围、系统范围和公共范围

基于信息公理理论可知，在评价方案决策过程中，首先确保各方案功能特性的独立性，然后基于信息公理确定方案的合理优劣排序[12]。公理化设计理论已被应用于多属性决策领域[13-16]，但是原来信息量计算中的成功概率只体现了系统能力并不能体现系统对用户需求的满足程度，因此信息量的简单套用并不适合解决多属性决策问题。而属性满意度综合性地体现了系统能力和决策者的满意度，可采用满意度代替成功概率并通过方案信息量Ii对方案进行综合评价，把多目标问题转化为单目标问题，这样更适合于解决多属性决策问题。

2.2 评价指标的Vague集区间信息量计算

若满足公理化设计独立性公理的评价方案集为：A={A1,A2,…,Ak}，考虑评价方案中存在不确定信息的评价指标集为G={G1,G2,…,Gq}，与评价指标相对应的模糊区间权重为:W={w1,w2,…,wq}={[wmin(1),wmax(1)], [wmin(2),wmax(2)],…,[wmin(q),wmax(q)]}。

根据公式(1)～(4)，计算得到评价对象i关于评价指标j的系统评价信息Vague规范集si(j)=[ti(j),1-fi(j)]，i=1,2,…,k；
j=1,2,…,q。则关于评价指标j的理想设计信息区间s0(j)定义为

s0(j)=[t0(j),1-f0(j)]

(8)

对各指标规范化处理后，可获得相应的Vague规范集si(j)=[ti(j),1-fi(j)]，则si(j)与s0(j)加权区间数欧氏距离可表征为

(9)

则各方案信息Vague集si(j)与理想设计信息Vague集s0(j)的接近程度ξ(i,j)，可表征为

(10)

式中：ξ(i,j)的取值区间为[0,1]，说明系统中评价对象信息Vague集与理想设计信息Vague集具有不重叠、部分重叠与完全重叠3种位置关系，则满足功能要求的概率可采用指数分布的密度函数，可取

pi(j)=exp(-|1-ξ(i,j)|)

(11)

则si(j)与s0(j)间的区间信息量Ii(j)为

Ii(j)=-log2pi=log2(exp(1-ξ(i,j)))

(12)

若评价方案i关于评价指标j的Ii(j)越小，则加固方案i关于评价指标j越满足系统期望要求，反之亦然。

同理，可求取评价方案集关于各评价指标的设计信息Vague集序列、Vague集数序列与理想设计信息Vague集数序列的信息量，则加固方案的模糊区间信息总量Ii为

(13)

依据公理化设计信息可知[17]：信息量最小的方案最能满足系统评价的功能要求，故为最优期望评价值，并以此进行择优排序。

在汶川地震中，经过震害调查与实地勘察[18]，发现灾区某一小学教学楼需要进行抗震加固，具体加固策略为：增加构造柱应在平面内对称布置，竖向连续贯通错位；
应与新增或原有的圈梁可靠连接，形成一个共同受力的空间体系；
应设置基础与销键，与原有基础可靠连接。按照上述原则，为了保障加固工程项目的顺利实施，在项目加固阶段邀请了3位专家和技术人员，根据震害基本特征，加固可靠性和相关规范，选择4种备选方案加拉结钢筋、压浆锚杆、局部配筋加强与钢板构造柱等施工做法，详细做法见图2至图5所示，从抗震加固效果、施工难度、经济性、耐久性、外观等方面，构建构造柱抗震加固方案优选指标系统，考虑到加固方案中各决策指标的客观复杂性与不确定性，故采用模糊语言值表征决策方案属性信息，详见表1。

图2 加拉结钢筋做法

图3 压浆锚杆做法

图4 配筋加强做法

图5 钢板构造柱做法

对表1中的指标评价语言集{“差”，“较差”，“一般”，“较好”,“好”}进行定量转化{“0.1”，“0.3”，“0.5”，“0.7”，“0.9”}，并按照公式(1)至(4)进行指标量化标准处理，可得加固方案各指标的Vague规范集为

表1 不同加固方案指标评价语言值

根据公式(7)，可得各加固方案各指标的理想设计信息Vague值序列为s0(j)=( [0.779,0.879], [0.872,0.926], [0.872,0.926], [0.872,0.926], [0.872,0.926])。利用层次分析法确定各指标权重为W={0.464, 0.144, 0.084, 0.268, 0.041}。利用公式(8)～(11)进行计算，求得si(j)和s0(j)的接近程度矩阵ξ和信息量矩阵IT为

利用公式(12)计算可得各方案信息总量序列矩阵 [0.3490, 0.2160, 0.6960, 1.0830]。基于优选原则可以看出，信息量最小的设计方案为方案2，故压浆锚杆做法为该砌体结构构造柱抗震加固最优方案。为了验证基于Vague与信息公理在构造柱加固方案优选决策过程中的科学性及有效性，本文采取基于优势关系的排序决策法与加权离差最大化决策法对4种加固方案进行优选对比[19]，基于优势关系的排序决策法仿真思想大致为：首先考虑各加固方案与理想方案间的优势度及属性概率测度，存在着一定的等价关系，其次对原始矩阵进行规范化处理，然后计算出其概率优势度，进一步构造加权规范化矩阵与综合属性值，最后基于综合概率优势度，对加固方案择优排序。基于此，首先求解加固方案Ai的规范化决策信息矩阵Am×n为

然后求解加固方案Ai的概率优势矩阵Pm×n为

Pm×n=

进而求得加固方案Ai的综合概率优势度Wi为

Wi=(0.4530,0.8623,0.0629,0.6218)

由此，可依据综合概率优势度大小对构造柱加固方案进行优选决策，综合概率优势度最大的设计方案为方案2，与本文基于Vague集与信息公理在构造柱加固方案优选决策结果一致。

基于加权离差最大化排序决策法的仿真思路大致为[18-20]：首先对原始决策矩阵规范化处理并求解出权重度量值，然后构造加权离差决策信息表，其次利用对加权综合属性值两两比较得到模糊互补矩阵，最后利用矩阵中转算法求得其综合排序向量，对加固方案Ai择优排序。鉴于此，首先求解加固方案Ai的加权离差决策信息矩阵A′m×n

然后求得加固方案Ai的离差概率优势矩阵P′m×n为

最后求得加固方案Ai的综合排序向量vi

vi=(0.2082,0.3389,0.1435,0.3094)

表2 构造柱抗震加固方案优选的决策方法对比

由此，可依据综合排序向量大小可知最优加固方案为方案2，与本文方法在构造柱加固方案优选决策结果一致，进而说明A2方案从加固效果、施工难度、经济性、耐久性与外观性等层次满足抗震加固可靠性的决策需求，3种构造柱抗震加固方案优选的决策方法对比详见表2所示，需要指出的是：基于加权离差最大化排序决策法的A2和A4加固方案属性值较为接近，对于决策者来说，很难对其进行方案的决策与取舍，本文基于Vague集与信息公理的决策评价值有一定的层次性，从而避免了评价决策值过于接近的缺陷与不足，进一步验证其可信性与合理性。

1)综合考虑砌体结构构造柱抗震加固方案优选指标语言属性，从抗震加固效果、施工难度、经济性、耐久性、外观等方面，构建了加固方案优选决策系统。

2)提出了基于Vague集和信息公理的综合多属性评价模型，更加注重评价对象自身数据的影响，增加了评价结果的可信度，可以有效地处理评价对象属性部分信息已知、部分信息未知的情况，减少评价信息的流失，保证评价结果的可信性与合理性。

3)通过与优势关系排序决策法和加权离差最大化排序决策法的对比验证，本研究评价结果更具层次性与可靠性，可在对具备不确定信息的建筑结构抗震加固方案提供有益借鉴。

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