具有线性记忆项Plate方程周期解的存在性

张铁元, 杜先云

(成都信息工程大学应用数学学院,四川 成都 610225)

周期现象在自然界中十分常见,如四季的更替,太阳的升降等,主要表现在某种现象随着时间的推移呈规律性出现,而这些周期现象反应在描述物理现象的非线性偏微分方程中便是周期解的存在。1997年H Kato[1]探究了Navier-Stokes方程在有界域上周期解的存在性;2001年郭柏灵等[2]证明了弱阻尼Schrödinger-Boussinesq方程周期解的存在性;2019年罗维[3]讨论了大气原始方程组时间周期解的存在性。

Plate方程源自Woinowsky[4]和Berger[5]建立的弹性振动方程。本文考虑一类具有线性记忆项的二维plate方程[6]在周期性外力项的作用下,在有界域Ω×R+上周期解的存在性问题。

其中:r1,r2,N1,N2,ρ,β为非负常数,f为外力项,φ(0),φ(∞)＞0,φ＇(s)＜0,∀s∈R+。

介绍一些周期为T的函数所构成的函数空间。

Lp(T;X)(1≤p≤∞)是在R1中以T为周期且在X上可测的函数的集合,定义范数

Wk,p(T;X)={Q(x)|Q(x)∈Lp(T,X),Dαu∈Lp(T,X),x∈R1,α≤k},当X是希尔伯特空间时,Hk(T;X)=Wk,2(T;X)。

对记忆核函数μ作出如下假设:

(H1)μ∈C1(R+)∩ L1(R+), μ＇(s)≤0,对于任意s∈R+;

(H3)μ＇(s)+αμ＇(s)≤0,对于任意 s∈R+,α＞0

定义以下希尔伯特空间

为方便记忆项的处理,不失一般性,设有φ(∞)=1,让 μ(s)=-φ＇(s),定义如下变换

引理2[8](Leray-Schauder不动点定理)设A:E→E 全连续。如果{x|x∈E,x=λAx,0＜λ＜1}有界,则A在E闭球T中必有不动点,这里T={x|x∈E,‖x‖≤R},R=sup{‖x‖|x=λAx,0＜λ＜1}。

设ωj(j=1,2,3,…)是由A的特征向量组成的E0中的完全正交系,并且具有狄利克雷边界条件。将式(3)～(6)近似周期解uN,vN,ηN记作以下形式:

其中ajN(t),bjN(t),cjN(t)是关于时间t∈R+的相关系数函数,根据伽辽金法(Galerkin method),其满足以下偏微分方程组

令WN为ω1,ω2,…,ωn张成的E0的子空间,易知对于C1(T,WN)中的连续紧映射:F:(pN,qN,mN)→(uN,vN,ηN)有任意(pN,qN,mN)∈C1(T,WN),存在唯一周期为T的解(uN,vN,ηN)∈C1(T,WN)满足

要证明式(10)～(13)解的存在性,由Leray-Schauder不动点定理可知,用替换非线性项β ‖uNx‖2uN**,后,只需证明

其中C1是与λ,N无关的正常数。

其中C1是与λ,N无关的正常数,则说明式(3)～(6)在E0中存在近似周期解(uN,vN,ηN),定理1证毕。

定理1中证明了近似周期解(uN,vN,ηN)的存在性,为说明(uN,vN,ηN)的收敛性,将进行其高低阶导数的一致性有界估计。在开始有关的高阶估计前(其中r=),注意到基{ωi,i=1,2,3,…}既可以作为算子A的特征函数ωi,也可作为Ar的特征函数ωi,表示为其中li为算子A的特征值。

定理2 (uN,vN,ηN)为式(3)～(6)在E0中的近似周期解,有

由第一微分中值定理有,存在t*∈[0,T],使

定理5 式(3)～(6)在E0中存在唯一周期解(u,v,η)

证明 定理1中,证明了式(3)～(6)存在近似周期解(uN,vN,ηN),则由定理2到定理4的成立可知,解序列(uN,vN,ηN)以下面的方式趋近于解序列(u,v,η)

由式(28)～(30)的成立就可以推出式(31),说明近似周期解(uN,vN,ηN)在E0中的收敛性。

运用Gronwall"s定理有

其中t∈(0,∞),又因为W(t)关于t是周期函数,所以对于任意t∈(-∞,∞),都存在一个正整数n0使t+n0T＞0,并且有W(t)=W(t+n0T)。从而对于任意n≥n0,有W(t)≤W(0)exp(-c2nT)。则可知W(t)≡0,周期解唯一,定理5证明完毕。

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