组合载荷作用下Ludwick型材料悬臂柱后屈曲载荷优化算法

侯祥林,成永刚,赵晓旭,张啸尘，殷晓薇

(1.沈阳建筑大学机械工程学院，辽宁 沈阳 110168;2.中车长春轨道客车股份有限公司，吉林 长春 130062)

非线性材料在工程上的应用越来越广泛，近年来进行了大量对材料力学性能参数测定的试验。非线性材料的本构关系是在胡克定律的基础上表现出不同形式的应力-应变特性，K.Singh[1]和G.Samuel等[2]介绍了几种常见的非线性本构关系。G.Lewis等[3]对两种Ludwick型材料的大变形进行了研究，推导出悬臂梁在自由一端受横向集中载荷发生大变形时的控制方程。无量纲横向集中载荷的形式参照了S.P.Timoshenko等[4]对线性材料悬臂梁大挠度计算时所采用的横向集中力的无量纲化，不同之处在于非线性材料横向集中力的无量纲形式更加复杂。计算组合载荷作用下Ludwick型材料悬臂梁大挠度的控制方程由K.Lee[5]提出，并以积分的形式给出了悬臂梁上任意点处弯矩的表达式。在不施加均布载荷的情况下，与G.Lewis等[3]的结果进行了对比，得到的结果几乎一致。L.Chen[6]得出了直角坐标系中悬臂梁大变形的计算公式，并将均布载荷所产生的弯矩进行了离散化，有利于编写程序。I.Eren[7]利用直角坐标系中的曲率表达式计算了不同弧长下无量纲的水平和垂直挠度值，但直角坐标系中曲率公式不含参数θ，因此无法得到端部转角。A.Borboni等[8]讨论了悬臂梁在自由一端水平力、竖向力和弯矩共同作用下的大挠度问题，并给出了数值算法和算例。H.Liu等[9]提出了用打靶法求解挠度曲线二阶微分方程的方法，并绘制了大挠度下悬臂梁和简支梁的变形曲线。

线性材料后屈曲问题由S.P.Timoshenko等[10]提出，利用椭圆积分得到屈曲载荷的求解公式。Ludwick型本构关系的表达式有一个缺点，当应变为零时，应力梯度会趋于无穷大。H.Jung等[11]给出了不同载荷组合作用下悬臂柱变形和后屈曲的弯矩表达式，针对其中一种组合载荷情况进行分析，建立了微分控制方程，得到了不同端部角度所对应的无量纲屈曲载荷及水平位移和垂直位移。针对Ludwick型本构关系和含修正项的Ludwick型本构关系，M.Brojan等[12]得出了受不同约束的弹性柱屈曲载荷的计算公式。J.K.Lee等[13]对Ludwick型材料正多边形截面的广义面积二阶矩(GSMA)及其在悬臂柱屈曲问题中的应用进行了研究。侯祥林等[14-15]提出了变截面刚架临界载荷的优化算法，并对截面变化的简支梁后屈曲载荷进行了计算[16]。

基于上述分析，笔者针对满足Ludwick型本构关系的非线性材料，通过局部坐标系与整体坐标系之间的变换式，得出整体坐标系下子段两端点的坐标关系；
再利用VB编程软件实现了悬臂柱两端点坐标之间的联系，并以无量纲屈曲载荷为设计变量，以固定一端转角形成目标函数，建立用于求解屈曲载荷的优化算法；
最后将算法结果与文献[11]中数值结果进行对比分析，验证了笔者所提优化算法的合理性和精确性，可知硬化指数是影响后屈曲平衡路径是否稳定的决定性因素。

1.1 应力-应变特性

Ludwick型材料的应力应变特性服从幂律关系，其本构模型可表述为

(1)

式中：σ为应力；
ε为应变；
E为弹性模量；
n为硬化指数，是由材料决定的常数。

1.2 弯矩-曲率关系

组合载荷作用下悬臂柱的后屈曲平衡状态如图1所示。在载荷作用下悬臂柱由自由一端由O′点偏转到O″点。

图1 悬臂柱后屈曲平衡状态Fig.1 Post-buckling equilibrium state of a cantilever column

为了便于结果对比，以O″为坐标原点建立直角坐标系xO″y。图1中，P为屈曲载荷，q为均布载荷，L为悬臂柱的长度，δh和δv分别表示O点的水平位移和垂直位移，α为O″点切线方向与x轴正方向的夹角，简称端部角度。

悬臂柱上任一点处横截面上的弯矩可表示为

(2)

通过几何图形导出的应变与曲率的关系式:

ε=yk.

(3)

以矩形截面悬臂柱为例，将式(1)和式(3)分别代入到式(2)中:

(4)

式中：sgn(k)表示符号函数，当k<0时，返回sgn(k)=-1。

令

(5)

则式(4)可简化为

M=EIn/(sgn(k)×k)1/n.

(6)

式(6)为矩形截面Ludwick型材料悬臂柱弯矩-曲率的关系式。整理得：

(7)

式中：ρ为曲率k所对应的曲率半径。悬臂柱上s点处的弯矩由两部分组成，一部分为屈曲载荷对s点产生的弯矩，另一部分为均布载荷对s点产生的弯矩：

M=Py+Mq.

(8)

将式(8)中均布载荷产生的弯矩改写成：

(9)

将离散形式的弯矩代入到式(8)中，则i点处的曲率半径为

(10)

1.3 任意子段坐标关系

从悬臂柱上截取无限小段AB，以A点为坐标原点建立局部坐标系x′Ay′，如图2所示。θi-1和θi分别为A点和B点处的转角，Δθi为B点相对于A点的转角，Δsi为Δθi对应的弧长，Δxi和Δyi分别表示局部坐标系系x′Ay′中B点的横坐标和纵坐标。

图2 任意子段两端点坐标Fig.2 Coordinates between two endpoints of any sub-segment

局部坐标系x′Ay′中，B点相对于A点的转角Δθi以及B点的横坐标Δxi和纵坐标Δyi可由曲率半径建立关系式:

(11)

A点在xO″y坐标系中的坐标为(xi-1,yi-1)，根据局部坐标系与整体坐标系关系，B点在xO″y坐标系中的坐标(xi,yi)可用A点坐标(xi-1,yi-1)进行表示:

(12)

2.1 无量纲化

考虑q=0以及q=P/L两种情况，式(10)可进一步简化，对简化后的式(10)进行无量纲化：

(13)

(14)

将用其来形成目标函数。

2.2 优化模型

2.3 目标函数形成过程

将图1屈曲后的悬臂柱等分成N段，如图3所示。si表示第i等分点距O″点的弧长，直角坐标为(xi,yi)；
sN表示固支端距O″点的弧长，直角坐标为(xN,yN)。

图3 悬臂柱等分为N段Fig.3 The cantilever column divided equally into N sections

表1 端部角度为60°时屈曲载荷的优化计算过程Table 1 The optimization calculation process of the buckling load at an end angle of 60°

为了验证笔者优化算法的合理性，与文献[11]在n=1/0.9时得到的q=0和q=P/L两种不同载荷作用下悬臂柱的屈曲载荷的数值结果进行对比，所采用的截面形状如图4所示。

图4 悬臂柱截面形状Fig.4 Section shape of a cantilever column

(15)

其中，I0=4bh3/3，I1/0.9可通过式(5)进行计算。

表2 q=0时无量纲屈曲载荷算法结果和文献[11]对比Table 2 Comparison between the results of dimensionless buckling load algorithm and reference[11] when q=0

表3 q=P/L时无量纲屈曲载荷算法结果和文献[11]对比Table 3 Comparison between the results of dimensionless buckling load algorithm and reference[11] when q=P/L

图5 q=0和q=P/L时不同端部角度下屈曲载荷的变化曲线Fig.5 The variation curve of buckling load under different end angles when q=0 and q=P/L

为了更直观地体现悬臂柱在两种不同受力情况下的变形，将表2和表3中无量纲水平位移δh/L和垂直位移δv/L转换到图1中以O点为坐标原点的直角坐标系中，分别绘制了q=0和q=P/L时不同端部角度下悬臂柱的变形曲线，如图6所示。

图6 不同端部角度下悬臂柱的变形曲线Fig.6 The deformation curve of cantilever column at different end angles

(2)绘制了q=0和q=P/L两种不同情况下不同端部角度时悬臂柱的变形曲线，通过对悬臂柱上10个点的坐标对比，发现当α相等时，组合载荷作用下各点的横坐标小于单一载荷作用时各点的横坐标，而纵坐标则是前者大于后者。

(3)端部角度α由10°增加到40°时，屈曲载荷逐渐变小，而在40°之后屈曲载荷逐渐增加，说明这种Ludwick型材料的后屈曲平衡路径并不稳定。

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