(2+1)维变系数非线性KP方程新推广解

靳玲花,白 慧,李珊珊

(河套学院数学与计算机系,内蒙古 巴彦淖尔 015000)

非线性科学涉及范围非常广泛,比如力学、数理化学、天文气象学、生物环境学、医学、航天等一些比较重要的领域,它是20世纪自然科学继量子力学和相对论两大领域的又一重大发展领域。从数学和物理的视觉来看,通过求解非线性微分方程可以很好地解释自然界中出现的各类非线性现象。为了更好地去理解这种非线性现象,采用构造非线性微分方程的解的方法,而这种做法已经成为当代非线性科学研究领域的重要课题。

目前在还没有完全获得系统地处理非线性问题的方法的情况下,不同专业的学者分别总结出了自己特有的研究方法,但一般被认可的范畴包括:孤立子、分形以及混沌。孤立子也叫孤立波,它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有相同特殊性质的解,以及它所蕴含的物理现象。孤立子具有一些主要的特性:1)孤立子是波动问题中一种能量有限的局域解;2)能量大多集中在一个很小的区域内(或能在空间给定的区域内稳定存在);3)孤立波相互作用时会出现弹性散射现象。这些性质揭示了孤立子的内涵,同时我们称具有孤立子解的非线性发展方程为孤子方程。孤立子理论包含的内容和研究方法非常丰富,尤其是近十几年来研究队伍不断扩大,研究成果令人瞩目。

孤立子理论中的两大主要问题是构造孤立子方程的精确解和研究非线性系统的可积性。随着孤立子理论的发展,已经总结了许多构造非线性方程精确解的方法,如Bäcklund变换法、Darboux变换法、相似约化法、Hirota双线性方法、反散射方法(IST)、延拓结构法、齐次平衡法、经典和非经典李群法、F-展开法、代数几何法、Painlevé分析法和(G′/G)-展开法等。本论文采用的就是(G′/G)-展开法。

由于非线性微分方程的解不再满足线性方程的叠加原理,所以通常很难像线性方程那样用一个统一的方法对其求解。进入20世纪以来,对于常系数非线性微分方程,前述诸方法已被大量应用,而变系数模型能够更精确地描述物理、力学问题,特别是高阶的变系数方程。因此,变系数方程有比较广泛的应用性。

考虑被数学家和物理学家普遍感兴趣的方程,(2+1)维广义圆柱变系数Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程:

(ut+6uux+u**x)x+a(t)ux+b(t)uyy=0,

(1)

(2)

(3)

KP方程有着广泛的物理背景,在流体力学、等离子体物理和气体动力学等领域有重要作用,可作为描述(2+1)维浅水波和等离子体中的离子声波的模型方程。任何一个模型或系统,尤其是变系数非线性模型或系统,我们可以直接进行系统行为与性能的分析,建立系统的可靠性模型。可靠性理论是正在发展的理论,对许多方面的认识还在不断地深化。对于一些复杂的可靠性问题,都还需要进一步、更广泛深入的研究。

本文中对于(2+1)维广义圆柱变系数KP方程的求解,前期已经做了许多工作[1]。主要方法选自王明亮等[2-3]2008年提出的(G′/G)-展开法。此方法简单、有效、实用,但作者发现还是有很大的改进空间。接下来就是将(G′/G)-展开法进行更一般化的推广后,再次应用在此方程中。

给出如式(4)形式的非线性微分方程:

P(u,ut,ux,utt,u**,…)=0。

(4)

1)寻求方程(4)如式(5)的行波变换:

u(x,t)=u(ξ),ξ=x±ct。

(5)

若是变系数非线性方程,则可以是如式(6)的行波变换:

u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x)+l(y)+p(t)+q,

(6)

式中:k(x),l(y),p(t)是待定函数;q,c是待定常数;利用变换式(5)或式(6),可将式(4)化为如式(7)的非线性微分方程(常系数或者变系数):

Q(u′,u″,u‴,L)=0。

(7)

2)假设方程(7)有如式(8)形式的解:

(8)

式中:an和bn不同时为0,a0,ai,bi(i=1,2,…,n)都是待定常数。式(8)中的整数n可以通过平衡式(7)中u(ξ)的最高阶非线性项和最高阶微分项来确定。G=G(ξ)满足如式(9)的二阶常微分方程:

G″+λG=0,

(9)

或者

G′+λG+μG2=0,

(10)

式中λ和μ都是任意常数,此辅助方程的论述可见文献[1-3]。

若ai=0,式(8)将化为

(11)

但如果bi=0,i=1,2,…,n,则(8)式将变为如式(12)的形式:

(12)

3)把式(8)代入式(7)后再利用式(9)或式(10)化为(G′/G)的幂次多项式,再令各次的系数为0,则得到一个以a0,ai,bi(i=1,2,…,n),λ以及k(x),l(y),p(t)为未知量,或者以q,c为未知数的非线性代数方程组。

4)求解3)中的代数方程组确定相关的未知量。另外,式(9)或式(10)的解都是我们所熟悉的(这里就不再赘述),将其及a0,ai,bi(i=1,2,…,n),k(x),l(y),p(t),q或者c代入式(8),便可以得到方程(4)的精确行波解。

(2+1)维广义圆柱变系数KP方程为:

(ut+6uux+u**x)x+a(t)ux+b(t)uyy=0,

(13)

因为该方程是变系数的,所以应该引入行波变换式(6),则该方程变形为:

[a(t)k′(x)+b(t)l″(y)+k(4)6(x)]u′+6k′2(x)u′2+6k″(x)u+[c′(t)k′(x)+b(t)l′2(y)+2k″(x)+k″2(x)+2k″(x)k‴(x)]u″,+6k′2(x)uu″+(5k′2(x)+k′2(x)k″(x))u‴+k′4(x)u(4)=0。

(14)

由齐次平衡原则得n=2,则应设式(14)解的形式为

(15)

这里G(ξ)满足二阶线性常微分方程式(9)。由式(15)利用式(9),则得到:

u′=-2a2φ3-a1φ2-2a2λφ+2b2λφ-3+b1λφ-2+2b2φ-1+b1-λa1,

u″=6a2φ4+2a1φ3+8a2λφ2+2a1λφ+6b2λ2φ-4+2b1λ2φ-3+8b2λφ-2+2b1λφ-1+2b1+2a2λ2,

u‴=-24a2φ5-6a1φ4-40a2λφ3-8a1λφ2-16a2λ2φ+24b2λ3φ-5+6b1λ3φ-4+40b2λ2φ-3+8a1λ2φ-2+16b2λφ-1+2b1λ-2a1λ2,

u(4)=120a2φ6+24a1φ5+240a2λφ4+40a1λφ3+136a2λ2φ2+16a1λ2φ+120b2λ4φ-6+24b1λ4φ-5+240b2λ3φ-4+40b1λ3φ-3+136b2λ2φ-2+16b1λ2φ-1+16b2λ+16a2λ3。

将前述各式代入式(14),合并为关于φ的各幂次多项式,并令各幂次系数为0,得到包含14个方程的一组很庞大的代数方程组,这里由于篇幅有限就不一一呈现。这样的方程组求解过程非常复杂,必须借助Mathematica软件的帮助,并经过认真仔细的分析筛选,最终求出了一组解:

k(x)=±x+C1,b(t)=Ca(t),l(y)=C2y2+C4y+C5,

将前述解连同式(9)的解一并代入式(15)即得到方程(13)的解:

当λ>0时,

(16)

当λ<0时,

(17)

接下来给出当辅助方程为式(10)时(2+1)维变系数KP方程的其中一组解:

(18)

至此,从前述的求解过程可以看出:在变系数的非线性发展方程中,维数只简单增加一维,其计算量却是增加数倍;由于其计算过程比较复杂,所以在计算的时候需要谨慎分析;与文献[1]中所求的解作比较,发现本章中的u1-u3完全包含里面的解。对于(G′/G)-展开法本身,这不仅对常系数非线性方程来讲非常有意义,对变系数方程来讲意义更加重大。

本文用推广的(G′/G)-展开法再次求解(2+1)维广义变系数KP方程,并成功得到了形式更广泛、内涵更丰富的精确解,也更加证实了此推广的有效性和适用性。从求解过程来看,变系数的非线性发展方程的求解,计算量很大、很复杂,其中数学软件Mathematica的作用可谓是功不可没。

另外,我们还可以对该方程进行Painlevé分析。Painlevé分析法不仅可以验证方程是否可积而且还与孤子理论中的诸多理论紧密相联,如孤立子方程的Bäcklund变换,Lax对等都可借助Painlevé分析方法得到,因此Painlevé分析法被认为是研究孤立子的得力方法和有效手段,并且在可积方程的基础上进一步寻找其更多的孤子解也是非线性科学的重要内容之一,在自然科学和数学物理工程应用中具有更实际的意义[4]。

猜你喜欢孤子行波广义一类非局部扩散的SIR模型的行波解数学物理学报(2022年5期)2022-10-09用Riccati方程的新解求Fitzhugh-Nagumo方程的新行波解数学杂志(2022年2期)2022-09-27Rn中的广义逆Bonnesen型不等式数学物理学报(2022年3期)2022-05-25一个新的可积广义超孤子族及其自相容源、守恒律数学物理学报(2020年1期)2020-04-21从广义心肾不交论治慢性心力衰竭中国中医急症(2019年10期)2019-05-21(3+1)维Potential-Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程新的多周期孤子解数学物理学报(2018年6期)2019-01-28Joseph-Egri方程行波解的分岔成都信息工程大学学报(2018年1期)2018-05-31两个孤子方程的高阶Painlevé截断展开厦门理工学院学报(2016年1期)2016-12-01有限群的广义交换度数学年刊A辑(中文版)(2016年2期)2016-10-30(3+1)维Kdv-Zakharov-Kuznetsev方程的亚纯行波解广西科技大学学报(2015年4期)2015-02-27

推荐访问:系数 推广 KP