泰勒级数前馈迟滞补偿电液复合ABS滑移率控制

苑 磊， 何 仁

(江苏大学 汽车与交通工程学院， 江苏 镇江 212013)

防抱死制动系统(anti-locked braking system，ABS)能够避免车轮在制动力矩较大时出现轮胎抱死现象，将车轮的滑移率保持在最佳滑移率附近，改善汽车制动性能，对车辆的安全性起到至关重要的作用，因此如何改善ABS的控制效果一直是学术界和工业界的研究热点.

目前关于ABS控制的研究可分为ABS控制策略和ABS制动执行器2个方面.在ABS控制策略方面，目前的趋势主要是从基于减速度门限值的控制规则过渡到精确的滑移率控制，如PID(proportion integral differential)控制、滑模控制、模型预测控制、自适应控制、非线性控制、最优控制、模糊控制以及神经网络控制等.尽管上述ABS控制算法均实现了滑移率的控制及非线性和不确定性的鲁棒性要求，但忽略了ABS制动系统执行器特性对ABS精确实时控制的影响.

如何利用ABS制动执行器实现滑移率的控制也是ABS研究的热点之一[1].文献[2]提出利用电子液压制动系统实现滑移率的精确控制，但是滑移率控制对制动力矩的响应速度有较高要求，并未考虑电子液压制动系统的带宽限制.也有学者[3-4]利用电动机制动力矩响应快、精确可控等优点，通过回馈制动实现滑移率的控制.文献[5]提出利用电磁制动进行滑移率的控制，避免了再生制动受电动机、电池等因素的制约.文献[6]通过电磁与液压制动匹配比例，提出滑模控制的电磁-液压复合ABS控制，但制动系统迟滞特性的改善完全取决于电磁制动所占总制动需求的占比，液压迟滞特性的改善有限.

笔者利用液压制动系统的可靠性和电制动系统精确、快速的优势，实现制动力矩的协调控制.采用非线性控制，以滑移率和滑移率的积分建立控制目标函数，使被控系统获得最优性能的同时，增加系统的鲁棒性.针对电子液压制动系统存在迟滞特性，无法发挥非线性控制的优势，利用电磁制动快速、精确以及不受电动机和电池制约的优势，提出一阶泰勒级数前馈补偿方法，电磁制动补偿电子液压制动迟滞量，设计基于泰勒级数前馈迟滞补偿的电液复合ABS滑移率控制，提高汽车制动性能.

1.1 车辆动力学模型

将1/4车辆模型作为研究对象，1/4车辆制动动力学模型如图1所示.Tb为制动力矩；
FL为制动传递的动荷载；
mt为1/4车的总质量；
g为重力加速度；
ω为车轮角速度；
v为车速；
Fx为轮胎纵向力；
Fz为1/4车辆模型下的后轮胎垂直载荷.

图1 1/4车辆制动动力学模型示意图

车辆动力学方程为

(1)

(2)

式中：It为车轮总惯性矩；
R为车轮半径.

(3)

式中：mvs为车辆簧载质量；
mw为车轮质量.

作用在轮胎上的纵向力取决于轮胎的垂直载荷，而垂直载荷由2部分组成：① 由于车辆质量分布而产生的静态载荷；
② 由于制动过程中产生的轮胎动载荷.因此，1/4车辆模型下的后轮胎垂直载荷为

(4)

式中：l为轴距；
hcg为簧载质量质心的高度.

定义轮胎的滑移率为

(5)

对式(5)关于时间求导得

(6)

将式(1)、(2)代入式(6)得

(7)

1.2 轮胎模型

为考虑轮胎力的非线性，采用Dugoff轮胎模型[7].在该模型中，轮胎纵向力为

(8)

式中：Cx为轮胎纵向刚度.

(9)

(10)

式中：Cα为轮胎侧向刚度；
α为轮胎侧偏角；
μ为路面摩擦系数；
εr为速度因子.

1.3 参考滑移率模型

基于1.2节的Dugoff轮胎模型，建立包含轮胎滑移率瞬态响应的参考模型，避免产生较大跟踪误差，得到车轮滑移率的参考模型：

(11)

式中：λd(s)为期望滑移率；
s为拉氏变换复变量；
λopt为最优滑移率；
τ为时间常数，τ=20.

假设期望滑移率的阶跃响应为一阶系统，对方程(11)两边进行拉普拉斯逆变换，解一阶零初始条件微分方程可得

λd(t)=λopt-λopte-τt.

(12)

式(12)描述了时域内的车轮滑移率参考模型，基于此模型，设计非线性最优控制器对参考滑移率进行跟踪.

1.4 电磁制动系统模型

电磁制动采用电磁线圈作为磁源，在转子盘中产生磁场，转子旋转产生反向制动力矩进行辅助制动.根据S. ANWAR[8]通过转速、电流和制动力矩拟合出电磁制动器的数学模型作为电磁制动系统的控制对象，制动力矩为

(13)

式中：ωe为转子盘的角速度；
im为励磁电流；
k0(ωe)k1(ωe)、k2(ωe)为关于ωe的多项式函数.

控制电流与缓速器反馈电流之间的动态关系可以通过RL电路模型来表示.缓速器的电流响应特性为

(14)

式中：Icmd为要求电流；
Le为电磁线圈的感抗；
Re为电磁线圈的阻抗；
i为作用于电磁线圈的实际电流.

由于电磁制动线圈的电感单位通常为毫亨甚至微亨级，所以响应速度只取决于可控电流的响应速度.用一阶惯性环节来表征电磁制动力矩的变化产生的时间延迟，即

(15)

式中：Tm(s)、Twm(s)分别为电磁制动的实际制动力矩和参考制动力矩；
τ1为时间常数.

1.5 电子液压制动系统模型

制动轮缸中的活塞运动方程为

(16)

式中：xw为轮缸活塞行程；
vw为活塞速度；
mw为活塞质量；
Aw为活塞面积；
p为轮缸压力；
cw为阻尼；
kw为弹簧刚度.

液压系统中流量和压力的关系为

(17)

式中：β为制动液及制动管路的等效弹性体积模量；
Vc为轮缸处制动液总量；
Cdj、Avj、Dj分别为电磁阀阀口流量系数、阀口过流面积和等效占空比，j=1，2分别为压力调节阀工作于增压环境和减压环境；
p0为高压蓄能器压力；
ρ为制动液密度.

通过调节电磁阀的占空比可有效控制轮缸压力，而轮缸压力与轮胎制动力矩存在线性关系，即

(18)

式中：μb为制动盘有效摩擦系数；
rw为轮缸半径；
rb为制动盘有效作用半径.

式(18)中假设制动系统是理想的，即实际制动力矩能够理想地跟随指令制动力矩.但从电控指令发出控制信号，控制执行机构调节制动液压在制动管路中传递，最后通过摩擦副之间的摩擦运动控制制动力矩，这一过程存在明显的滞后现象.目前的电子液压制动系统存在120 ms到210 ms迟滞[9].因此，采用一阶惯性环节来表征电子液压制动力矩的变化产生的时间延迟，即

(19)

式中：Th(s)、Twh(s)分别为电子液压制动系统实际制动力矩和参考制动力矩；
τ2为时间常数，反映电子液压制动系统迟滞特性.

2.1 非线性滑移率控制器设计

采用积分反馈非线性滑移率控制算法.采用式(1)、(7)构建制动工况下的非线性车辆系统动力学状态方程：

(20)

(21)

y1=[x2],

(22)

式中：x=[vλ]T为系统状态向量；
y1为系统输出向量.非线性轮胎模型式(8)已合并到函数f1和f2中.

非线性轮胎最优滑移率控制器的设计，用泰勒级数展开法预测下一个时间区间λ(t+Tp)的轮胎非线性响应，预测周期Tp类似于预测控制中的预测时域.为进一步提高控制器的鲁棒性，采用积分反馈技术，将滑移率和滑移率积分作为控制目标，在连续区间内以预测跟踪误差最小化为优化目标，计算控制输入Tb(t).

采用积分反馈，定义新的状态变量x3,有

(23)

(24)

式中：w2、w3分别为轮胎滑移率和其积分的加权系数；
h为步长；
Xnd(t+h)为参考量.

为实现最优跟踪，控制输入Tb的加权项未包含在性能指标中.

在t时刻处的k阶泰勒级数近似为

(25)

泰勒级数预测的关键问题在于阶数的选择，阶数越高近似程度越高，但控制系统能耗将会增加，而较低的阶数导致预测的误差增大.因此，控制阶数作为控制器设计参数，需在性能和输入能耗之间进行折中，而泰勒级数预测的充分条件为不低于预测向量的阶数.

综上所述，一阶泰勒级数对于x2的展开是充分的，而对于x3的展开则至少需要二阶泰勒级数，即

(26)

(27)

同理，可对参考滑移率的状态向量进行泰勒级数展开，可得

(28)

(29)

将式(26)-(29)代入到式(24)可得以控制输入为变量的性能指标函数，根据最优理论，性能指标函数最优的必要条件为

(30)

非线性ABS控制器的制动力矩公式为

[(1+0.5βh2)e2+0.5βhe3+

(31)

式中：e2和e3为当前输出向量的跟踪误差：e2=x2(t)-x2d(t)；
e3=x3(t)-x3d(t);β为权重比，β=w3/w2.

2.2 基于迟滞补偿复合制动控制器设计

尽管非线性最优控制器能够实现理论上的最优制动防抱死功能，然而该控制方法对执行机构的响应速度和控制精度提出更高的要求.作为主要执行器的电子液压制动系统存在不可避免的迟滞特性，这将恶化控制系统的性能，如果不采取响应补偿措施，其控制效果甚至低于传统的ABS控制策略，丧失了最优控制器的优势.因此，利用电磁制动响应快的优势，将电磁制动作为辅助制动，对电子液压制动系统的迟滞特性进行补偿，改善制动系统的响应特性.迟滞补偿控制器的原理如图2所示.制动系统将滑移率信号和车速信号发送到上层滑移率控制器，上层控制器求解得到最优制动力矩Tb，并将最优制动力矩Tb信号发送到电子液压制动系统，作为下层执行器的电子液压制动系统实现最优制动力矩Tb的跟踪控制.但是由于电子液压制动系统存在明显的迟滞特性，无法实现跟踪高频信号的跟踪控制.迟滞补偿控制器根据电子液压制动系统产生的轮缸压力，根据式(18)可间接测量得到制动力矩Th，通过跟踪微分器(tracking differentiator，TD)计算得到电子液压制动系统制动力矩的一阶导数，采用一阶泰勒级数前馈补偿控制方法求解电子液压制动系统迟滞补偿制动力矩Tc.迟滞补偿控制器将Tc信号发送到电磁制动执行器，底层电磁制动执行器实现制动力矩Tc的跟踪控制.最后，将电子液压制动系统产生的制动力矩Th和电磁制动产生的制动力矩Tc相加得到迟滞补偿后的复合制动力矩Th-τ2，并作用于制动系统.

图2 基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制框图

迟滞补偿控制器利用一阶泰勒展开式，电子液压制动力矩下一时刻的一阶惯性迟滞环节补偿量等于迟滞惯性力的斜率与时间常数τ2之积，因此τ2时刻之后经补偿的电子液压制动力矩为

(32)

Tc=τ2Th.

(33)

对一阶泰勒级数进行迟滞补偿控制的策略在频域中给出如下证明.

针对式(32)和式(33)进行拉氏变换，可得

(34)

式中：T(s)为制动力矩传递函数的比例环节.

由于电磁制动力矩的一阶惯性常数τ1非常小，相对于τ2可以忽略不计，则1+τ1≈1，对式(34)进行整理可得

Th-τ2=T(s).

(35)

通过式(35)可以发现，经过迟滞补偿后的制动力矩已经没有了一阶惯性常数，对迟滞特性进行了有效补偿.证明完毕.

2.3 跟踪微分器设计

经典微分环节利用惯性环节有延迟的跟踪输入信号性质，构造的近似微分公式为

(36)

给出如下近似微分公式[10]：

(37)

式(37)的传递函数为

(38)

(39)

采用的线性跟踪微分器能够有效降低噪声对微分信号的干扰.

为验证上述控制方法的有效性，分别对高附着路面和跃变路面的ABS制动工况进行仿真，对采用基于电磁制动迟滞补偿的电液复合ABS的滑移率控制与电子液压制动单独作为执行器进行对比分析.仿真参数如下：R=0.326 m；
Cx=30 kN；
mw=40 kg；
ms=415 kg；
h=0.01；
τ1=5 ms；
τ2=200 ms；
εr=0.015 m；
v=30 m·s-1；
Cα=50 000 N·rad-1；
It=1.7 kg·m2；
hcg=0.5 m；
a=20；
β=1.在仿真过程中加入峰值为1%的白噪声.高附着路面摩擦系数μ选为0.8，并将目标滑移率设为0.11.高附着路面下测得的液压制动力矩和TD跟踪制动力矩对比曲线如图3所示.

图3 高附着路面下测得的液压制动力矩和TD跟踪制动力矩对比曲线

从图3可以看出：尽管实测液压制动力矩具有一定的噪声干扰，通过采用TD能够有效实现制动力矩的跟踪，并能够达到很好的降噪效果.

高附着路面下，不考虑噪声时，理想的液压制动力矩微分信号与TD跟踪制动力矩微分信号的对比曲线如图4所示.

图4 高附着路面下理想制动力矩微分信号和TD跟踪制动力矩微分信号的对比曲线

从图4可以看出：与理想的制动力矩跟踪值相一致，TD依然能够很好地跟踪制动力矩的微分信号，且受到的噪声影响微乎其微.从图3、4可以说明，采用TD能够有效获得制动力矩的微分信号，为迟滞补偿控制器所利用.

高附着路面下单独使用电子液压制动系统进行滑移率控制的制动力矩曲线如图5所示.

图5 高附着路面下液压制动力矩曲线

从图5可以看出：
由于电子液压制动系统存在迟滞特性，使得滑移率控制器求解得到的目标制动力矩呈现大幅度的振荡现象.这会大大增加执行器的工作负担，使执行器趋于不稳定的工作状态，极易导致系统失去稳定性.

高附着路面下单独液压制动、电磁制动和复合制动的制动力矩对比曲线如图6所示.

图6 高附着路面下单独液压制动、电磁制动和复合制动的制动力矩对比曲线

从图6可以看出：在ABS工作初期，电磁制动系统迅速响应，给电磁制动器提供最大制动力矩，而液压制动力矩初期不再产生大幅度的超调现象；
在过渡过程以后，电磁制动力矩迅速下降，液压制动力矩提供主要的制动力矩，液压系统提供的制动力矩在整个过程中处于稳定的工作状态；
复合制动力矩幅值在制动初期有一个非常明显的峰值，这是由于电磁制动器在初期提供了高响应的电磁制动力矩.复合制动的执行器相比于液压制动执行器具有更高的带宽，更快的响应速度，因此能够提供更大的制动力矩，控制轮胎滑移率能够更快速收敛到目标滑移率.

高附着路面下，滑移率控制器使用复合制动执行器和单独液压制动执行器的滑移率对比曲线如图7所示.电磁制动和液压制动系统系统工作时，控制的轮胎滑移率非常稳定.单独使用液压制动系统时，滑移率会产生一定的超调现象.

图7 高附着路面下复合制动执行器和单独液压制动执行器的滑移率对比曲线

高附着路面下，ABS滑移率控制器使用泰勒级数前馈补偿的电液复合制动系统和单独液压制动系统时，汽车产生的平均制动减速度对比曲线如图8所示.复合制动在制动初期能够以更快的速度达到最大减速度，这在紧急制动过程中相比于单独液压制动具有明显的优势.

图8 高附着路面下汽车产生的平均制动减速度对比曲线

为进一步验证所提方法的有效性，采用路面摩擦系数跃变路面进行防抱死仿真验证.摩擦系数随时间的变化，制动初始时摩擦系数为0.8，在1 s后路面摩擦系数变为0.5，在2 s后路面摩擦系数又重新变为0.8.

跃变路面液压制动力矩和TD跟踪制动力矩对比曲线如图9所示.TD微分跟踪器即使在路面摩擦系数跃变的情况下，仍然能够很好地对液压制动力矩进行跟踪.

图9 跃变路面液压制动力矩和TD跟踪制动力矩对比曲线

跃变路面复合制动力矩微分信号和TD跟踪微分信号对比曲线如图10所示.尽管存在噪声，TD仍然能够很好求解出其微分信号，说明TD的输出微分能为一阶泰勒级数迟滞补偿所利用.

图10 跃变路面下复合制动力矩微分信号和TD跟踪微分信号对比曲线

跃变路面下液压制动力矩曲线如图11所示.由于路面摩擦系数的跃变，滑移率控制器控制的液压制动力矩也发生相应变化，但是液压制动力矩的瞬态响应都具有非常大的超调现象，与高附着路面得到的结果相同，说明液压制动力矩受带宽限制，控制效果将大打折扣.

图11 跃变路面液压制动力矩曲线

跃变路面下单独液压制动、电磁制动和复合制动的制动力矩对比曲线如图12所示.在制动力矩需要变化时，液压制动力矩的瞬态响应没有产生超调现象，电磁制动力矩迅速响应，提供高响应速度的制动力矩.从复合制动力矩可以看出：基于电磁制动迟滞补偿的复合ABS控制的制动力矩响应速度快，能够提供足够的制动力矩使轮胎滑移率更快收敛到目标滑移率.

图12 跃变路面下单独液压制动、电磁制动和复合制动的制动力矩对比曲线

跃变路面下复合制动执行器和单独液压制动执行器的滑移率对比曲线如图13所示.

图13 跃变路面下复合制动执行器和单独液压制动执行器的滑移率对比曲线

从图13可以看出：
复合制动控制的滑移率平缓，在路面摩擦系数跃变时，一次振荡后迅速收敛到目标滑移率.液压制动作为单独执行器进行滑移率控制时，滑移率波动明显.

提出了一种基于泰勒级数前馈迟滞补偿的电液复合ABS滑移率控制策略，并给出具体的设计方法和证明.通过线性跟踪微分器实现电子液压制动力矩微分信号和迟滞补偿量的求解.基于电磁制动迟滞补偿的电液复合ABS滑移率控制可有效改善车轮滑移率的精确控制和车辆紧急制动性能.

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