基于离散分数阶傅里叶变换的二维跳频通信系统及性能分析

宁晓燕 赵东旭 朱云飞 王震铎

(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院 哈尔滨 150001)

跳频(Frequency Hopping, FH)通信是当今扩频通信中应用最广泛的通信系统之一，具有抗干扰能力强、截获概率低等优点。很多学者在传统跳频架构上进行拓展研究[1–4]，例如文献[5]为提高系统的频谱效率，提出了一种通过在跳点选择过程中嵌入部分信息的消息驱动跳频系统。文献[6]提出了一种使用2阶差分编码通过频率和相位关系来承载消息的高阶差分跳频方案。然而上述方案仅改变跳点的选择方法，未增加参数跳变的维度，随着侦测技术的发展，针对这种单变换参数的跳频信号检测手段越来越成熟[7–11]，使得传统跳频的抗截获性能相对下降，信息易被截获。

针对上述问题，文献[12]提出了一种基于4维超混沌系统的射频隐身跳频通信系统，可实现跳频通信系统中周期序列和频率序列的联合不确定设计。文献[13]将传统跳频拓展至分数阶傅里叶变换域，有效提高了系统的频带利用率和抗截获性能，但依旧仅有频率一个参数跳变。在此基础上文献[14]提出了一种带宽参数不断变化的分数阶跳频系统，但受限于滤波器性能，工程应用上难以实现最佳接收，同时在接收端需设计多种阶次分数阶傅里叶变换模块，系统复杂度高。

本文在以上文献的基础上，为解决传统跳频中变换参数单一，信息易被截获的问题，同时考虑到具体工程应用，提出了时宽与起始频率跳变的分数阶跳频(Fractional Fourier Transform Frequency Hopping with Variable Time Wide and Fixed Bandwidth, FrFT-FH-VTFB)系统，该系统时宽参数与起始频率参数2维跳变，增强了信号随机性；
类比正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)系统IFFT/FFT架构，将系统拓展至分数域，每次选通一路实现跳频，通过离散分数阶傅里叶变换(Discrete Fractional Fourier Transform, DFrFT)的工程实现，规避传统跳频工程应用中跳速受频率合成器限制的问题；
域特征不明显，具有抗截获能力强，适用于隐蔽通信场景等特点。

FrFT-FH-VTFB系统原理框图如图1所示，本系统采用离散分数阶傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fractional Fourier Transform, IDFrFT)/DFrFT架构，采用两组伪随机PN序列分别控制时宽与起始频率，在发送端由冲激函数映射可得不同位置与长度的冲激函数，经归一化最佳接收阶次下IDFrFT可得不同起始频率与时宽的Chirp信号，可有效破除信号的时间周期性。接收端经归一化最佳接收阶次下DFrFT可得明显峰值，定点判决后可解调数据。

图1 FrFT-FH-VTFB系统原理框图

相较于文献[13]提出的通信系统， FrFT-FHVTFB系统通过时宽与起始频率2维跳变，增强了信号随机性；
文献[14]提出的变带宽跳频系统需采用最大带宽设计滤波器，引入不必要的带外噪声与干扰，FrFT-FH-VTFB系统带宽参数恒定，滤波器设计简单，且信号归一化接收阶次为常数，有效消除了时宽跳变的影响，在实际的工程应用中，可仅设计单一阶次IDFrFT/DFrFT模块，降低系统复杂度。

2.1 发送端方案

由式(1)可知，分数域中的冲激信号经IDFrFT可得到时域Chirp信号，该信号的调频率及起始频率与冲激信号的冲激出现位置和信号时宽相关。当冲激出现位置中心对称时，可得调频率相同的升降频Chirp信号，实现Chirp二进制正交键控(Chirp Binary Orthogonality Keying, Chirp-BOK)调制。在一定条件下，当一组等间隔冲激信号同时进行IDFrFT后，可得到一组正交Chirp信号，构成分数阶傅里叶变换正交频分复用(Fractional Fourier Transform Orthogonal Frequency Division Multiplexing, FrFT-OFDM)系统。Chirp信号本身是线性调频信号，具有扫频特性，存在扩频增益，可用于隐蔽通信场景。

其中，fk为 第k跳的起始频率，B为带宽，Tk为第k跳的时宽，ak为第k跳传输的符号。当带宽一定时，每跳信号的起始频率与时宽都在不断变化，故在时频域中，每跳信号的调频率不同，系统时频域跳频图案如图2所示。

图2 时频域跳频图案

由式(3)、式(4)可知，虽然每一跳信号的时宽在传输过程中不断变化，但可变时宽Tk对归一化最佳接收阶次p˜k的影响被消除。因此，在发送端与接收端，无论Chirp信号的起始频率fk与 时宽Tk如何跳变，只要信号的带宽B与采样频率fs一定，归一化最佳接收阶次p˜k恒为一确定常数，可由式(4)简单计算得出。经归一化后的无量纲跳频图案如图3所示，每一跳信号归一化时宽一致，调频率绝对值相同，归一化接收阶次相等。这简化了接收端的工程实际应用设计，可仅设计单一阶次的IDFrFT/DFrFT模块，降低系统复杂度。

图3 归一化跳频图案

2.2 接收端方案

其中，δ(·)表示分数域冲激函数的一般形式；
通过同步PN序列1及PN序列2，确定升频信号与降频信号的接收采样点u1k与u2k， 在升频接收采样点u1k处采样可得到

4.1 误码率性能仿真及分析

4.1.1 AWGN信道

FrFT-FH-VTFB系统在AWGN信道下性能对比如图5所示，其参数设置如表1所示。FrFT-FHFTFB系统为文献[13]中系统，定时宽变带宽的分数阶跳频(Fractional Fourier Transform Frequency Hopping with Fixed Time Wide and Variable Bandwidth, FrFT-FH-FTVB)系统为文献[14]中系统，FH为传统跳频系统。

表1 各系统参数设置

图4 不同条件下理论误码率与仿真结果对比

图5 AWGN信道系统性能对比

4.1.2 衰落信道

如图6所示，在相同条件下，基于FrFT的跳频系统抗衰落能力要优于传统跳频系统。在衰落信道中， 当误码率为1 0−4时，FrFT-FH-FTFB系统与FrFT-FH-VTFB系统所需信噪比对比AWGN信道下均提高约2 dB；
而FrFT-FH-FTVB系统的误码率性能下降较为严重，较AWGN信道下所需信噪比提高约3 dB；
FH系统在本文所设参数的衰落信道中，性能下降严重。这证明本系统具有良好的抗衰落性能，时宽参数的跳变不会如带宽参数跳变一样导致系统抗衰落性能下降，这是由于FrFT-FHVTFB系统时宽参数跳变会使部分码元能量增加，相对减小衰落对系统性能的影响，此外，多径衰落并不会改变Chirp信号的归一化调频率，因此接收端依旧能正确解调。

图6 衰落信道系统性能对比

4.2 域特征分析

4.2.1 循环谱特征分析

循环谱的特征分析可得到循环平稳信号统计量随时间的变化规律，再根据峰值位置，可进行参数估计[20]。对参数设置同表1的FrFT-FH-VTFB系统信号进行循环谱特征分析，其循环谱结果与f=f0截面如图7所示。另取FH信号作对比分析，其循环谱结果与f=f0截面如图8所示。

图7 FrFT-FH-VTFB信号循环谱分析

图8 FH信号循环谱分析

由于FrFT-FH-VTFB系统起始频率与时宽在跳变，此两种维度的变化有效地打破了信号中的周期性。如图7所示，本系统循环谱特征与白噪声的循环谱特征完全一致，可认为本系统周期性减弱，增大了被循环谱检测的难度。截面图无明显特征峰，只在循环频率为0 Hz处有单峰存在，难以进一步进行参数估计。相比之下，如图8所示，FH信号仅有频率参数跳变，时宽恒定，循环谱与截面图中皆有明显特征峰，易被检测与估计。

4.2.2 功率谱特征分析

信号的功率密度谱反映了信号的功率在频域随频率的分布规律，含有信号的带宽、能量分布、载波频率等关键信息，可作为截获信号依据之一。为使功率谱突出，设置比特信噪比为15 dB的信号进行功率谱分析，由于本系统起始频率随机跳变，因此多次功率谱分析后取均值，图9为功率谱分析结果。其中，发送信号表示系统参数设置参照与表1一致的FrFT-FH-VTFB系统随机发送端信号平均功率谱密度，噪声表示AWGN信道中噪声平均功率谱密度，接收信号表示在AWGN信道中接收端信号平均功率谱密度。

图9 功率谱分析

如图9所示，由于FrFT-FH-VTFB系统选取不同时宽与起始频率的Chirp基信号进行信息的传输，Chirp信号天然具有扩频增益，分析功率谱得出，本系统在比特信噪比为15 dB时，发送信号呈平坦形，功率谱完全淹没在噪声之下。接收信号功率谱与噪声重合，可认为本系统在频域上具有隐蔽性。能量检测是隐蔽波形检测的重要手段之一[21,22]，由图9可认为本系统具有较好的抵抗能量检测能力。

4.2.3 倒谱特征分析

倒谱经常用来进行复杂信号中周期成分的提取和分离，其在分析多成分谐频与边频时有较好的效果。图10给出了基带信号倒谱对比图，其中图10(a)为FrFT-FH-VTFB系统基带信号倒谱曲线，图10(b)为传统跳频信号倒谱曲线。

图10 基带信号倒谱对比

如图10所示，本系统的基带信号做倒谱分析后，周期谱线杂乱无序，无特殊规律，这是由于系统中起始频率与时宽在跳变，破坏了周期特性。相比之下，传统跳频信号的倒谱周期谱线明显，可以很容易地估计出跳频的频点个数，并进行参数估计，这证明本系统有较好的抗倒谱检测的能力。

本文提出一种基于DFrFT的2维跳频通信系统，通过时宽与起始频率跳变的Chirp基信号传递信息，获得Chirp信号类扩频增益的同时，有效打破信号的周期性，提高了非合作方截取信号的难度，并推导AWGN信道下的理论误码率。本系统采用变时宽Chirp基信号，在AWGN信道下性能略弱于FrFT-FH-FTFB信号，但有较好的抗衰落能力。其域特征方面的优势在于发射信号功率谱特征淹没在噪声之下，接收信号功率谱特征与噪声基本重合，循环谱特征、倒谱特征皆无明显周期谱线，难以进行参数估计，具有较好的隐蔽性能。

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