几何坐标法思想启悟

下面是小编为大家整理的几何坐标法思想启悟,供大家参考。

　几何坐标法思想的启悟

　【摘要】本文从笛卡尔的几何坐标法思想获得启悟，分析了几何坐标法的核心思想是建立一个合适的坐标系，将所关心的几何点用坐标表示出来，再将坐标用命题的几何约束关系表示成代数的问题进行求解，最后将代数问题的解还原为几何问题的解.从若干几何学问题的坐标法求解过程演绎了这一方法的有效性.

　 【关键词】几何；代数；几何坐标法

　 1.笛卡尔的几何坐标法思想

　 笛卡尔（Descartes，1596-1650），法国人，伟大的哲学家、数学家、物理学家、生理学家，解析几何的创始人.他在主要著作《方法论》的附录之一《几何学》中提出了关于解析几何和代数的思想，其核心是：先把欧几里得几何学问题归结成代数形式的问题，然后用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的.1637 年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了平面直角坐标系，创立了解析几何学，其主要思想为：

　 （1）在几何学中引入坐标系：笛卡尔从天文和地

　理的经纬度出发，建立了平面上的点和实数对（x，y）的一一对应关系，创立了平面直角坐标系，这一划时代产物的出现使数量思维与空间思维完美地结合在一起，沟通了数学中的两个基本研究对象“数”和“形”之间的联系，研究的“数”是变数，研究的“形”是不规则的几何形体；

　 （2）用方程表示曲线的思想：笛卡尔把相互关联的两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线，用以描述具有某种性质的点之间的内在关系，笛卡尔说：“这种关系可用一个方程来表示”，这就是说可以用一个二元方程表示平面曲线，并根据方程的代数性质来研究相应曲线的几何性质；反之，可根据已知曲线的几何性质定义曲线的方程，并用几何的观点研究方程的代数性质.

　笛卡尔几何坐标法思想对数学史上的巨大贡献可用恩格斯下面的一段话来概括，即“数学中的转折点是笛卡尔的变数；有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成了必要的了”.

　由此可见，笛卡尔几何坐标法思想对人类科学思维的影响是何等巨大，为后人的学习和创新提供了宝贵的财富.时至今日，笛卡尔几何坐标法思想在培养学

　生的创新思维意识、能力方面的影响是很大的，我们通过以下几何学问题的坐标法求解过程获得的启悟来说明这一点.

　2.几何学问题的坐标法求解

　 几何坐标法的核心思想是建立一个合适的坐标系（这是几何学问题转化为代数问题的桥梁），将所关心的几何点用坐标表示出来，再将坐标用命题的几何约束关系表示成代数的问题进行求解，最后将代数问题的解还原为几何问题的解.这是我们对笛卡尔几何坐标法思想的启悟.

　下面，通过若干几何学问题的几何坐标法求解过程验证这一方法的有效性.

　例 1 已知直角三角形△ABC，∠ACB=90°，CE 是角平分线，EF⊥BC，垂足为点 F.

　求证：1AC+1BC=1EF.

　证明

　 （1）建立直角坐标系

　 图1 问题1在直角坐标系中的描述根据几何图形的特性建立如图所示的直角坐标系，则△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（0，a）、B（b，0），C（0，0），并且是确定的；同时，定义 E 点的坐标为 E（x，y），这样几何图形上的点就与直角坐标系有了一一对应.

　（2）根据题意分析求解的思路

　 首先，几何中的线段 EF 的长度在直角坐标系中对应点 E 的纵坐标 y，线段 AC 的长度在直角坐标系中对应点 A 的纵坐标 a，线段 BC 的长度在直角坐标系中对应点 B 的横坐标 b，所要证明的几何问题恰恰是直角坐标系中的横、纵坐标之间的代数运算关系，这是我们启悟到的重要线索.从这一角度出发，可想而知，问题的焦点在于用怎样的方法求出点 E 的坐标？这引发出下面的问题.

　（3）几何问题转化为代数问题

　 点E的坐标是直线CE和直线AB两条直线的交点，若能求出这两条直线的方程，联立求解即为所求，这两条直线的方程如何获得？

　 由于点 A 和点 B 的坐标已知，且分别在 x 轴和 y轴上，显然，直线 AB 的方程可用截距式列出

　 xb+ya=1 （1）.

　由于 CE 是角平分线，∠ACB=90°，因此，直线CE 的斜率为 1，直线 CE 上的点 C 已知，故而直线 CE的方程可用点斜式列出如下 y=x （2）.

　联立式（1）、式（2），可得 1y=1a+1b，即1AC+1BC=1EF.

　 例 2 已知 Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB.

　求证：1AC2+1BC2=1CD2.

　证明

　 （1）建立直角坐标系

　 设∠CAB=β，

　 则 AC=ABcosβ，

　 BC= ABsinβ，

　 AD=ACcosβ= ABcos2β，

　 CD= ACsinβ= ABcosβsinβ.

　图 2 问题 2 在直角坐标系中的描述

　 根据几何图形的特性建立如图所示的直角坐标系，则△ABC 的三个顶点的坐标

　 分别为 A（0，0）、B（b，0），C（bcos2β，bcosβsinβ）.

　（2）几何问题转化为代数问题

　 AC2=b2cos2β，

　 BC2= b2sin2β，

　 CD2= b2cos2βsin2β，

　 则 1AC2+1BC2=1b21cos2β+1sin2β=1b2cos2βsin2β=1CD2.

　3.几何坐标法在物理学透镜成像光路计算中的应用

　 例 3 已知物体 AB 垂直于凸透镜的主轴，与主轴

　平行的光线 AC 经过凸透镜折射后通过焦点 F2，光线AO 通过凸透镜中心 O，穿过凸透镜后方向不变，与光线 CF2 相交于 A2 点，A2B2 是倒立于主轴上物体 AB的像，物距 OB=u，像距 OB2=v，焦距 OF2=OF1=f.

　求证：1u+1v=1f.

　证明

　 （2）建立直角坐标系

　 已知 OB=u，OB2=v，OF2=f.

　设∠AOB=∠A2OB2=β .

　根据题意建立如图所示的直角坐标系，则 AB=utgβ，A2B2=vtgβ

　 点 A，B，C，A2，B2 的坐标分别为 A（-u，utgβ），B（-u，0），C（0，utgβ），A2（v，-vtgβ），B2（v，0）.

　图 3 问题 4 在直角坐标系中的描述

　 （2）根据题意分析求解的思路

　 参数 u，v，f 包含在二个相似△OF2C 和△B2F2A2中，可用相似三角形对应边成比例的关系建立参数 u、v、f 的代数关系式，故根据△OF2C∽△B2F2A2，得

　 OCOF2=A2B2B2F2

　即

　 utgβf=vtgβv-f，化简，得

　1u+1v=1f.

　4.结论

　 几何坐标法的核心思想是建立一个合适的坐标系，将所关心的几何点用坐标通过建立坐标系的方法对应起来，对应的坐标在几何约束条件下表示成代数方程进行求解，这是我们对笛卡尔几何坐标法思想的启悟.

　 [参考文献]

　[1]邓鹏，康纪权，孙海. 初等几何研究. 北京：高等教育出版社，2012.2.

　[2]李中平. 平面几何分类证明. 重庆：西南师范大学出版社， 2011.7.

　[3]王宪昌. 数学思维方法. 北京：人民教育出版社，2010，3.

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